Las dos nociones se describen aquí Casoratian – de Wolfram MathWorld y aquí Wronskian – de Wolfram MathWorld.
Creo que puede ser que la definición del casoratiano que has visto es la que hace que se parezca más al wronskiano. El Casoratian es para secuencias, mientras que el Wronskian es para funciones continuas. En el Wronskian, tomamos sucesivas derivadas de las funciones dadas. En el casoratiano, aplicamos el operador de diferencia repetidamente a las secuencias dadas.
Existe una analogía entre las ecuaciones diferenciales (para una variable independiente continua) y las ecuaciones de diferencia (para una variable independiente discreta). El operador de diferencia, que toma la diferencia entre términos sucesivos de una secuencia, es algo análogo al operador derivado, que toma la tasa de cambio de una función que varía continuamente. Hay ecuaciones de diferencia para secuencias que tienen algunas de las mismas propiedades que las ecuaciones diferenciales para funciones continuas.
Entonces, si tenemos las funciones [matemáticas] f_1 = \ sin (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] f_2 = \ cos (x) [/ matemáticas], el wronskiano tiene entradas [matemáticas] f_1, f_2 [/ matemáticas] en la primera fila y [math] f_1 ‘(x) = \ cos (x) [/ math] y [math] f_2’ (x) = – \ sin (x) [/ math] en la segunda fila. Entonces el valor del determinante es [matemática] – \ sin (x) \ sin (x) – \ cos (x) \ cos (x) = – 1 [/ matemática].
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Si tenemos secuencias [matemática] s_1 (n) = n ^ 2 [/ matemática] y [matemática] s_2 (n) = n + 4 [/ matemática] entonces el casoratiano como se define en Math World tiene entradas [matemática] n ^ 2, n + 4, (n + 1) ^ 2, (n + 1) +4 [/ matemática] que da un determinante [matemática] n ^ 2 (n + 5) – (n + 1) ^ 2 (n +4) [/ matemáticas]. Alternativamente, podemos tomar diferencias sucesivas. El operador de diferencia [matemática] D [/ matemática] toma una secuencia como [matemática] s_1 [/ matemática] y devuelve la secuencia [matemática] Ds_1 (n) = s_1 (n + 1) -s_1 (n) = (n +1) ^ 2-n ^ 2 = 2n + 1 [/ matemáticas]. Entonces, podríamos aplicar la otra definición para obtener una matriz con entradas [matemáticas] n ^ 2, n + 4, 2n + 1, 1 [/ matemáticas] cuyo determinante es [matemáticas] n ^ 2 (1) – (n + 4 ) (2n + 1) [/ math] que evalúa lo mismo.
Permítanme explicar cómo la definición anterior para el casoratiano es equivalente a la definición que se parece a la definición del wronskiano (con derivados reemplazados por diferencias). Permítanme hacerlo para el caso [matemáticas] k = 4 [/ matemáticas]. La columna de la matriz para una secuencia [matemática] s [/ matemática] tiene entradas [matemática] s_n, s_ {n + 1}, s_ {n + 2}, s_ {n + 3} [/ matemática]. Podemos hacer operaciones de fila que restan la fila 3 de la fila 4, la fila 2 de la fila 2 y la fila 1 de la fila 2, dejándonos con [matemáticas] s_n, Ds_ {n}, Ds_ {n + 1}, Ds_ {n + 2} [/ math], donde [math] Ds [/ math] es la secuencia que obtenemos del operador de diferencia [math] D [/ math] aplica la secuencia [math] s [/ math], es decir, la secuencia [math ] Ds_ {n} = s_ {n + 1} -s_ {n} [/ math]. Ahora haz lo mismo de nuevo con las últimas tres filas. Reste la fila 3 de la fila 4 y la fila 2 de la fila 3, para obtener columnas que se vean como [math] s_n, Ds_ {n}, DDs_ {n}, DDs_ {n + 1} [/ math]. La secuencia [math] DDs [/ math] es lo que obtienes al aplicar el operador de diferencia a [math] s [/ math] dos veces. Ahora reste la fila 3 de la fila 4 una última vez para obtener columnas de la forma [math] s_n, Ds_ {n}, DDs_ {n}, DDDs_ {n} [/ math].
La notación no siempre es la misma, pero espero que puedan ver que ahora hay una analogía con el Wronskian, que creo que probablemente provocó la pregunta.