Intuitivamente, ¿por qué el rizo de un campo vectorial conservador es 0? ¿Hay alguna razón cuando se relaciona con la función potencial?

Answer 1

Usemos un campo que sea bastante fácil de entender intuitivamente, el campo de gravedad cerca de la superficie de la Tierra. Imagina que estás en un edificio con dos escaleras a cada lado. Podrías subir una escalera al piso de arriba y bajar la otra escalera para volver a tu posición original. Si hubiera algún rizo en el campo gravitacional, entonces podría ganar más energía bajando de un lado de lo que llevaría subir del otro lado.

Si integras la fuerza de gravedad a lo largo de tu camino cerrado, obtendrás una fuerza neta que te seguirá acelerando. El rizo solo te dice que hay algún componente rotacional en el campo. Si la gravedad pudiera crear tal fuerza de rotación, liberaría energía continuamente para empujarlo alrededor de esas líneas de campo de rotación. Tenga en cuenta que el componente de rizo puede ser muy pequeño en comparación con el componente lineal que lo empuja hacia abajo. No obstante, el efecto persistiría y la conservación de la energía se rompería.

Si imagina una rueda en un eje, comenzaría a girar más y más rápido si la sujeta en una región tan curvada del campo gravitacional (nuevamente porque en el lado experimentaría continuamente una fuerza gravitacional ligeramente más pequeña que el otro lado).

Espero que esto ayude a aclarar el papel del rizo en los campos vectoriales conservadores para usted. Avíseme si todavía hay cosas que no están claras.
Salud,
Johannes

Answer 2

Bueno, una función potencial es siempre un escalar del que tomas el gradiente para obtener el parámetro de interés. Por ejemplo, V = grad [matemáticas] \ phi [/ matemáticas]. La operación matemática de tomar el rizo de un gradiente tiene que ser cero. Es básicamente una consecuencia de las definiciones de curl y grad.

Answer 3

Alguna intuición útil para el rizo proviene de la siguiente definición en Wikipedia:

El rizo de un campo vectorial F , denotado por el rizo F , o ∇ × F , o podredumbre F , en un punto se define en términos de su proyección en varias líneas a través del punto. Si n̂ es cualquier vector unitario, la proyección del rizo de F sobre n̂ se define como el valor límite de una integral de línea cerrada en un plano ortogonal a n̂ a medida que el camino utilizado en la integral se vuelve infinitesimalmente próximo al punto, dividido por El área cerrada.

Por supuesto, todos conocemos la fórmula del rizo, pero este párrafo explica qué está calculando esa fórmula. Por alguna razón, a la mayoría de los estudiantes nunca se les enseña esto. (O tal vez esto se explica en la lectura asignada, pero nadie hace la lectura asignada …)

Entonces, si tiene un campo vectorial donde la integral de línea desaparece a lo largo de todos los bucles, el rizo debe ser cero. El hecho de que el rizo sea cero le dice que la integral de línea desaparece a lo largo de todos los bucles. (O, al menos, que la relación de la integral de línea con el área del bucle va a cero a medida que este último va a cero).

Ahora debería parecer perfectamente intuitivo: un campo vectorial conservador, uno que siempre apunta hacia (o lejos, según la convención de signos que use) un potencial creciente, nunca puede tener un rizo porque la integral de la línea desaparece a lo largo de todos los bucles, porque siempre que el bucle va “con” el campo vectorial hacia un potencial creciente, tiene que ir “contra” el campo vectorial hacia un potencial decreciente en la misma cantidad para volver a su punto de partida.