Cómo encontrar el DE eliminando la constante C de y = c (xc) ^ 2

Answer 1

[matemáticas] y = c {\ left ({x – c} \ right) ^ 2} \ cdots \ cdots \ left (1 \ right) [/ math]

Al diferenciar la ecuación anterior una vez, obtenemos

[matemática] \ Rightarrow \ frac {{dy}} {{dx}} = c \ left (2 \ right). \ left ({x – c} \ right) \ left ({1 – 0} \ right) = 2c \ left ({x – c} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {{{d ^ 2} y}} {{d {x ^ 2}}} = 2c \ left ({1 – 0} \ right) = 2c \ cdots \ cdots \ left (2 \ right) [/ math]

Sustituyendo [math] \ left (2 \ right) [/ math] en [math] \ left (1 \ right) [/ math], obtenemos

[matemática] \ Rightarrow y = \ frac {1} {2}. \ frac {{{d ^ 2} y}} {{d {x ^ 2}}}. {\ left ({x – \ frac {1 } {2}. \ Frac {{{d ^ 2} y}} {{d {x ^ 2}}}} \ right) ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow 2y = \ frac {{{d ^ 2} y}} {{d {x ^ 2}}} \ left ({{x ^ 2} + \ frac {1} {4} {{\ left ({\ frac {{{d ^ 2} y}} {{d {x ^ 2}}}} \ right)} ^ 2} – x \ left ({\ frac {{{d ^ 2} y} } {{d {x ^ 2}}}} \ right)} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow 8y – 4 {x ^ 2}. \ frac {{{d ^ 2} y}} {{d {x ^ 2}}} + {\ left ({\ frac {{{d ^ 2 } y}} {{d {x ^ 2}}}} \ right) ^ 3} + 4x {\ left ({\ frac {{{d ^ 2} y}} {{d {x ^ 2}}} } \ right) ^ 2} [/ math]

Por favor corrígeme si estoy equivocado.

Puede haber una solución simple también

Answer 2

El problema no es gran cosa. La eliminación de la constante no es un ejercicio deslumbrante. Pero mi respuesta es bastante complicada y no intentaré simplificarla más.

El paso más básico en este problema es diferenciar primero lo que tienes a mano.

[math] \ Rightarrow y ‘= 2c \ left (xc \ right) [/ math]

El problema aquí es con el término [math] \ left (xc \ right) [/ math]

Una solución simple es cuadrar ambos lados.

[math] \ Rightarrow \ left (y ‘\ right) ^ 2 = 4c ^ 2 \ left (xc \ right) ^ 2 [/ math]

Usando [math] \ left (xc \ right) ^ 2 = \ frac {y} {c} [/ math] obtenemos:

[math] \ Rightarrow \ left (y ‘\ right) ^ 2 = \ frac {4c ^ 2y} {c} [/ math]

[math] \ Rightarrow \ left (y ‘\ right) ^ 2 = 4cy [/ math]

[math] \ Rightarrow c = \ frac {\ left (y ‘\ right) ^ 2} {4y} [/ math]

Por lo tanto, la ecuación diferencial es:

[matemáticas] y = \ frac {\ left (y ‘\ right) ^ 2} {4y} \ left (x- \ frac {\ left (y’ \ right) ^ 2} {4y} \ right) ^ 2 [ /matemáticas]

¡Depende de usted si desea simplificarlo!

Answer 3

Esa constante es importante en esta función. Generaliza la función y, en una visión muy limitada, ilustra una familia de funciones. Supongo que está pidiendo la derivada de esta familia de funciones; para fines de vocabulario, mientras que “¿Cómo puedo encontrar el DE …” es correcto, una mejor manera de expresarlo es, “” ¿Cómo puedo encontrar la derivada de … “. Sin embargo, una ecuación diferencial es análoga a una ecuación algebraica; , en lugar de variable, usamos todos los órdenes de derivadas, y de eso usamos técnicas para encontrar funciones que satisfagan el DE.

No le daré la derivada de esta función porque este es un cálculo diferencial básico; sin embargo, le diré que use la regla de la cadena, y si no está seguro de cómo hacerlo, expanda la función y use la regla de potencia. Si todo eso falla, use la definición de límite de la derivada.