¿Cuál es la solución de ecuaciones de Bessel, en pasos sencillos?

Answer 1

Las funciones de Bessel , definidas primero por el matemático Daniel Bernoulli y luego generalizadas por Friedrich Bessel, son las soluciones canónicas [matemáticas] y (x) [/ matemáticas] de la ecuación diferencial de Bessel

se conoce como Bessel Eqn de p orden.

para un número complejo arbitrario α, el orden de la función de Bessel. Aunque α y −α producen la misma ecuación diferencial para α real, es convencional definir diferentes funciones de Bessel para estos dos valores de tal manera que las funciones de Bessel son en su mayoría funciones suaves de α.

Los casos más importantes son cuando α es un entero o medio entero. Las funciones de Bessel para el número entero α también se conocen como funciones de cilindro o armónicos cilíndricos porque aparecen en la solución de las coordenadas incilíndricas de la ecuación de Laplace. Las funciones esféricas de Bessel con medio entero α se obtienen cuando la ecuación de Helmholtz se resuelve en coordenadas esféricas.

Las funciones de Bessel son la parte radial de los modos de vibración de un tambor circular o membrana. Si golpea una membrana de tambor circular en el centro, podría hacer esto:

O esto: –

El segundo escenario es lo que se esperaría de un bombo: resuena en el modo de frecuencia más bajo posible. El primer escenario es cuando resuena en el siguiente modo más alto.

Ir a: animaciones de Drumhead

Solución:

Usando el método Frobenius;

Dejar,

Entonces,

Así,

coeficiente de x ^ s da eqn indicial,

coeficiente de x ^ (s + 1) da, a1 = 0 y el coeficiente de forma general es,

Como los términos impares son cero, entonces,

1er tipo de solución en serie: s = p

Entonces los términos son,

…………………………………………….

…………………………………………….

……………………………………………

Dejar,

Entonces,

Por lo tanto,

BESSEL FUNCTION J0, cuando mueves una cadena (idealizada)

primera parte de BESSEL FUNCTION J1.

BESSEL FUNCTION J2 con 2 líneas nodales y 0 líneas nodales circulares

2do tipo de solución en serie: s = -p

Si p no es integral, entonces

Pero si p es entonces, los primeros términos son 0 porque Γ (n + 1-p) = ∞ por lo tanto, la segunda solución es independiente cuando p no es entero

Aunque tenemos una segunda solución cuando p no es entero, es costumbre usar una combinación lineal de J _ {- p} y J_ {p} como segunda solución. Esto es muy parecido a sinx y (2 sinx – 3 cosx) como dos soluciones de y ” + y = 0 en lugar de sinx y cosx. Recuerde que la solución general de este DE es una combinación lineal de senx y cosx con coeficientes arbitrarios. Pero A sinx + B (2 sinx – 3 cosx) es una combinación lineal tan buena como C1 sinx + C2 cosx.

Del mismo modo, cualquier combinación de J _ {- p} y J_ {p} es una segunda solución satisfactoria de Bessel Eqn. La combinación que se usa se llama funciones de Weber tal como fueron introducidas por HM Weber (1873), y también funciones de Neumann después de Carl Neumann.

Ahora, cuando p sea un entero, entonces Y_ {p} = 0/0 ya que sin (p π) = 0. Para que tenga sentido, lo definimos como

La solución general de Bessel Eqn es,

Para más consulta:

Función de Bessel – Wikipedia

Ecuación diferencial de Bessel

Función de Bessel del primer tipo

Función de Bessel del segundo tipo

Ecuación diferencial de Bessel y modulación de ángulo

Membrana de jabon

Answer 2

Esa es una gran pregunta. Supongo que te refieres a la ecuación diferencial de Bessel

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 \ frac {d ^ 2f} {dx ^ 2} + x \ frac {df} {dx} + (x ^ 2- \ lambda ^ 2) f = 0 [/ math]

La respuesta llenaría fácilmente 30 a 50 páginas carta o A4. ¿Puedo remitirlo a un libro de texto sobre física matemática o sobre ecuaciones diferenciales? Mi favorito de todos los tiempos para una exposición detallada de este asunto es el texto heredado Courant e Hilbert: Métodos de física matemática , donde la ecuación de Bessel se trata desde todos los puntos de vista posibles, y es bastante directa sin la teoría general de las EDO: series de potencia , soluciones integrales, funciones de Bessel, funciones de Hankel, funciones de von Neumann … En ese libro, su pregunta está siendo respondida de manera bastante explícita, pero no con demasiada sobrecarga pedagógica, en 35 páginas.

Answer 3

UN PASO FÁCIL ——-> Utilice el método de solución de la serie Frobenius …

Las matemáticas son un “tema de escalera”, tienes que subir un peldaño a la vez.

En mi opinión personal, la mejor escalera para la ecuación diferencial es por George F Simmons “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas”.

Más allá de las funciones elementales se encuentran las funciones trascendentales superiores o, como a menudo se las llama, las funciones especiales. Desde el comienzo del siglo XVIII, se han considerado muchos cientos de funciones especiales lo suficientemente interesantes o importantes para merecer algún grado de estudio. La mayoría de estos están casi completamente olvidados, pero algunos, como la función gamma, la función zeta de Riemann, las funciones elípticas y las que continúan siendo útiles en física matemática, han generado amplias teorías, y entre ellas, algunas son tan ricas en significado e influir en que la mera historia de cualquiera de ellos llenaría un gran libro.

El campo de las funciones especiales fue cultivado con entusiasta devoción por muchos de los mejores matemáticos de los siglos XVIII y XIX: Euler, Gauss, Abel, Jacobi, Weierstrass, Riemann, Hermite y Poincaré, entre otros. Pero los gustos cambian con los tiempos, y hoy la mayoría de los matemáticos prefieren estudiar grandes clases de funciones (funciones continuas, funciones integrables, etc.) en lugar de individuos sobresalientes.

Sin embargo, todavía hay muchos que favorecen la biografía sobre la sociología, y un tratamiento equilibrado del análisis no puede descuidar ninguna de las dos opiniones.

Las funciones especiales varían bastante ampliamente con respecto a su origen, naturaleza y aplicaciones. Sin embargo, un grupo grande con un grado considerable de unidad consiste en aquellos que surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Muchos de estos encuentran aplicaciones en relación con las ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática. También son importantes, a través de la teoría de las expansiones ortogonales, como la principal fuente histórica de análisis lineal, que ha desempeñado un papel central en la configuración de gran parte de las matemáticas puras modernas.

Tratemos de entender de manera general cómo surgen estas funciones. Se recordará que si deseamos resolver la ecuación simple

y ″ + y = 0, (1)

entonces las funciones familiares y = sen x e y = cos x ya están disponibles para este propósito a partir del cálculo elemental. La situación con respecto a la ecuación.

xyʺ + yʹ + xy = 0 (2)

es bastante diferente, ya que esta ecuación no se puede resolver en términos de funciones elementales. De hecho, no existe un tipo conocido de ecuación lineal de segundo orden, aparte de aquellos con coeficientes constantes y ecuaciones reducibles a estos mediante cambios de la variable independiente, que se pueda resolver en términos de funciones elementales. En el Capítulo 4 encontramos que ciertas propiedades generales de las soluciones de tal ecuación a menudo se pueden establecer sin resolver la ecuación en absoluto. Pero si una ecuación particular de este tipo parece lo suficientemente importante como para exigir algún tipo de solución explícita, ¿qué podemos hacer? El enfoque que desarrollamos en este capítulo es resolverlo en términos de series de potencia y utilizar estas series para definir nuevas funciones especiales. Luego investigamos las propiedades de estas funciones mediante sus expansiones en serie. Si tenemos éxito en aprender lo suficiente sobre ellos, entonces alcanzan el estado de “funciones familiares” y pueden usarse como herramientas para estudiar el problema que dio lugar a la ecuación diferencial original.

No es necesario decir que este programa es más fácil de describir que llevar a cabo, y vale la pena solo en el caso de funciones con una variedad de aplicaciones importantes.

A partir de las observaciones anteriores, queda claro que utilizaremos series de potencia ampliamente a lo largo de este capítulo. Damos por sentado que la mayoría de los lectores están razonablemente familiarizados con estas series de un curso anterior de cálculo. Sin embargo, para beneficio de aquellos cuya familiaridad con este tema puede haberse desvanecido levemente, presentamos una breve revisión de los hechos principales “.