Las funciones de Bessel , primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y luego generalizadas por Friedrich Bessel, son las soluciones canónicas [matemáticas] {\ displaystyle y (x)} [/ matemáticas] de la ecuación diferencial de Bessel
se conoce como Bessel Eqn de p orden.
para un número complejo arbitrario α, el orden de la función de Bessel. Aunque α y −α producen la misma ecuación diferencial para α real, es convencional definir diferentes funciones de Bessel para estos dos valores de tal manera que las funciones de Bessel son en su mayoría funciones suaves de α.
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Los casos más importantes son cuando α es un entero o medio entero. Las funciones de Bessel para el número entero α también se conocen como funciones de cilindro o armónicos cilíndricos porque aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. Las funciones esféricas de Bessel con medio entero α se obtienen cuando la ecuación de Helmholtz se resuelve en coordenadas esféricas.
Las funciones de Bessel son la parte radial de los modos de vibración de un tambor circular o membrana. Si golpea una membrana de tambor circular en el centro, podría hacer esto:
O esto: –
El segundo escenario es lo que se esperaría de un bombo: resuena en el modo de frecuencia más bajo posible. El primer escenario es cuando resuena en el siguiente modo más alto.
Solución:
Usando el método Frobenius;
Dejar,
Entonces,
Así,
coeficiente de x ^ s da eqn indicial,
coeficiente de x ^ (s + 1) da, a1 = 0 y el coeficiente de forma general es,
Como los términos impares son cero, entonces,
Entonces los términos son,
…………………………………………….
…………………………………………….
……………………………………………
Dejar,
Entonces,
Por lo tanto,
BESSEL FUNCTION J0, cuando mueves una cadena (idealizada)
primera parte de BESSEL FUNCTION J1.
BESSEL FUNCTION J2 con 2 líneas nodales y 0 líneas nodales circulares
2do tipo de solución en serie: s = -p
Si p no es integral, entonces
Pero si p es entonces, los primeros términos son 0 porque Γ (n + 1-p) = ∞ por lo tanto, la segunda solución es independiente cuando p no es entero
Aunque tenemos una segunda solución cuando p no es entero, es costumbre usar una combinación lineal de J _ {- p} y J_ {p} como segunda solución. Esto es muy parecido a sinx y (2 sinx – 3 cosx) como dos soluciones de y ” + y = 0 en lugar de sinx y cosx. Recuerde que la solución general de este DE es una combinación lineal de senx y cosx con coeficientes arbitrarios. Pero A sinx + B (2 sinx – 3 cosx) es una combinación lineal tan buena como C1 sinx + C2 cosx.
Del mismo modo, cualquier combinación de J _ {- p} y J_ {p} es una segunda solución satisfactoria de Bessel Eqn. La combinación que se usa se llama funciones de Weber tal como fueron introducidas por HM Weber (1873), y también funciones de Neumann después de Carl Neumann.
Ahora, cuando p sea un entero, entonces Y_ {p} = 0/0 ya que sin (p π) = 0. Para que tenga sentido, lo definimos como
La solución general de Bessel Eqn es,
Para más consulta:
Función de Bessel – Wikipedia
Ecuación diferencial de Bessel
Función de Bessel del primer tipo
Función de Bessel del segundo tipo
Ecuación diferencial de Bessel y modulación de ángulo
Membrana de jabon
