La ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden dada se puede resolver numéricamente.
Se pueden encontrar soluciones numéricas con un CAS como Mathematica utilizando la función incorporada de Mathematica NDSolveValue [].
Por ejemplo, escribiendo el código
ysol01 = NDSolveValue [{Abs [y ” [x]] / (1 + y ‘[x] ^ 2) ^ (3/2) == Sqrt [x ^ 2 + y [x] ^ 2],
y [0] == 1, y ‘[0] == 0}, y,
{x, 0, 30}]
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calcula la función de interpolación para las condiciones de contorno [matemática] y (0) = 1 [/ matemática] y [matemática] y ‘(0) = 0 [/ matemática].
Los valores específicos de la solución anterior de [matemática] x = 0 [/ matemática] a [matemática] x = 3.5 [/ matemática] con pasos de [matemática] 0.1 [/ matemática] se pueden calcular escribiendo el código:
Tabla [ysol01 [x], {x, 0, 3.5, .1}]
Esto produce el resultado:
{1., 0.994987, 0.979796, 0.953939, 0.916515, 0.866025, 0.8, 0.714143,
0.6, 0.435889, -3.99704 * 10 ^ 26, -2.18751 * 10 ^ 54, -7. * 10 ^ 55,
-5.31561 * 10 ^ 56, -2.23999 * 10 ^ 57, -6.8359 * 10 ^ 57, -1.70099 * 10 ^ 58,
-3,67651 * 10 ^ 58, -7,16796 * 10 ^ 58, -1,29169 * 10 ^ 59, -2,18749 * 10 ^ 59,
-3.52297 * 10 ^ 59, -5.44316 * 10 ^ 59, -8.12198 * 10 ^ 59, -1.17648 * 10 ^ 60,
-1.66112 * 10 ^ 60, -2.29374 * 10 ^ 60, -3.10592 * 10 ^ 60, -4.1334 * 10 ^ 60,
-5.41643 * 10 ^ 60, -9.83361 * 10 ^ 61, 9.10518 * 10 ^ 61, -1.58371 * 10 ^ 62,
1.43493 * 10 ^ 62, -2.44692 * 10 ^ 62, -3.00098 * 10 ^ 62}
La solución numérica anterior y sus dos primeras derivadas se pueden trazar escribiendo:
Trazar [{ysol01 [x], ysol01 ‘[x], ysol01’ ‘[x]}, {x, 0, 30}]
El resultado obtenido es la siguiente gráfica (solución en azul, primera derivada en naranja, segunda derivada en verde):
Se puede encontrar otra o una segunda solución numérica para diferentes condiciones de contorno escribiendo:
ysol02 = NDSolveValue [{Abs [y ” [x]] / (1 + y ‘[x] ^ 2) ^ (3/2) == Sqrt [x ^ 2 + y [x] ^ 2],
y [0] == 0, y ‘[0] == 1}, y, {x, 0, 30}]
Luego escribiendo
Trazar [{ysol01 [x], ysol02 [x]}, {x, 0, 30}, PlotTheme -> “Detallado”]
produce una gráfica de las dos soluciones numéricas:
Aquí hay una gráfica de las dos soluciones anteriores para [matemática] x [/ matemática] entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 8 [/ matemática]:
Se pueden encontrar y trazar varias soluciones con diferentes condiciones iniciales o límite. Las soluciones para las condiciones de contorno [matemáticas] y (0) = j [/ matemáticas] y [matemáticas] y ‘(0) = k [/ matemáticas] se pueden calcular escribiendo el código:
ysoln = Tabla [NDSolveValue [{Abs [y ” [x]] / (1 + y ‘[x] ^ 2) ^ (3/2) ==
Sqrt [x ^ 2 + y [x] ^ 2], y [0] == j, y [0] == k},
y, {x, 0, 30}], {j, 1, 3}, {k, 1, 3}]
Esto calcula las funciones de interpolación para nueve soluciones numéricas.
Las soluciones se pueden trazar escribiendo:
Trazar [Evaluar [Tabla [ysoln [[j, k]] [x], {j, 1, 3}, {k, 1, 3}]], {x, 0,
30}, PlotRange -> Automático]
Aquí está la trama resultante (haga clic en la imagen a continuación para ampliarla):
A continuación se muestra una gráfica de la solución numérica anterior para [matemática] x [/ matemática] entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 1.5 [/ matemática]:
Se pueden especificar o usar opciones adicionales y métodos numéricos con NDSolveValue [] para variar o modificar las soluciones numéricas calculadas.