¿Es la ecuación diferencial [matemáticas] \ frac {d} {dx} f (x) = \ sqrt {x ^ 2 + f (x) ^ 2} [/ matemáticas] solucionable?

Answer 1

He intentado encontrar una solución analítica, hasta ahora sin resultado.

Aquí hay una gráfica que muestra algunas curvas de solución aproximadas (producidas con RK4, [matemáticas] h = 0.01 [/ matemáticas]; vea ESTE ENLACE); La simple apariencia de estas soluciones me hace sospechar que debería haber una solución “bonita”, aunque, como he dicho, todavía no la he encontrado.

A pesar de no tener más que informar, me sentí obligado a publicar una respuesta porque la respuesta de Ivan Bazhov, aunque se basa en un enfoque prometedor (conversión a coordenadas polares), no produce una solución correcta. Esto se ha señalado en los comentarios sobre esa respuesta, pero aun así, ha cosechado una gran cantidad de votos a favor.

No he examinado su respuesta lo suficiente como para determinar dónde se produce el error, pero de mis propios intentos de encontrar una solución utilizando coordenadas polares, llegué a esto:

[matemáticas] \ dfrac {dr} {d \ theta} = \ dfrac {r (r \ sin \ theta + \ cos \ theta)} {r \ cos \ theta – \ sin \ theta} = \ dfrac {r (r \ tan \ theta + 1)} {r – \ tan \ theta} \ tag * {} [/ math]

Esto surge de la fórmula general:

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {\ frac {dr} {d \ theta} \ sin \ theta + r \ cos \ theta} {\ frac {dr} {d \ theta} \ cos \ theta-r \ sin \ theta} \ tag * {} [/ math]

junto con el hecho de que [math] \ frac {dy} {dx} = r [/ math].

¿Es la ecuación [matemáticas] \ frac {d} {dx} f (x) = \ sqrt {x ^ 2 + f (x) ^ 2} [/ matemáticas] solucionable?

Answer 2

Si. Puedes escribirlo en coordenadas polares:

[matemáticas] x = r \ cdot \ cos \ phi; f (x) = r \ cdot \ sin \ phi [/ math]

Luego :

[matemáticas] \ frac {df} {dx} = \ frac {df} {dr} \ frac {dr} {dx} + \ frac {df} {d \ phi} \ frac {d \ phi} {dx} [ /matemáticas]

También tenemos:

[matemáticas] \ frac {df} {dr} = \ sin \ phi; \ frac {df} {d \ phi} = r \ cdot \ cos \ phi [/ math]

[matemáticas] \ frac {dr} {dx} = (\ frac {dx} {dr}) ^ {- 1} = \ cos \ phi; \ frac {d \ phi} {dx} = (\ frac {dx} {d \ phi}) ^ {- 1} = – r \ cdot \ sin \ phi [/ math]

Recordando [matemáticas] \ frac {df} {dx} = r [/ matemáticas] y poniendo todo junto:

[matemáticas] r = \ frac {\ sin \ phi} {\ cos \ phi} – \ frac {\ cos \ phi} {\ sin \ phi} [/ math]

o, usando algunas fórmulas:

[matemáticas] r = -2 \ cot (2 \ phi) [/ matemáticas]

Es una descripción de la curva [matemática] (x, f (x)) [/ matemática] en coordenadas polares. Se necesita más trabajo para obtener una representación de [math] f (x). [/ Math] Sustituyendo [math] r = -2 \ cot (2 \ phi) [/ math] en las fórmulas para [math] x, f (x) [/ math], al encontrar [math] \ sin \ phi [/ math] en función de [math] x, [/ math] da:

[matemáticas] f (x) = x \ frac {x + \ sqrt {x ^ 2 + 8}} {\ sqrt {8-2x ^ 2-2x \ sqrt {x ^ 2 + 8}}} [/ matemáticas]

Answer 3

Sí, pero probablemente solo numéricamente. Sugeriría probar el método del punto medio, o algún otro método un poco mejor que reenviar Euler con algunas condiciones iniciales arbitrarias.