Cómo resolver la siguiente ecuación diferencial: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} + y \ tan {x} = y ^ 3 \ sec {x} [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] y ‘+ y tanx = y ^ 3 segundos [/ matemáticas]

Dividiendo por [matemáticas] y ^ 3 [/ matemáticas] en ambos lados,

[matemáticas] y ^ {- 3} y ‘+ y ^ {- 2} tanx = secx [/ matemáticas]

Sustituye [matemáticas] z = y ^ {- 2} => z ‘= -2 y ^ {- 3} y’ [/ matemáticas]

Y así, [matemáticas] y ‘= \ frac {-1} {2} y ^ 3 z’ [/ matemáticas]

Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como: [matemáticas] z ‘= 2tanx z – 2secx [/ matemáticas]

Esta es una ecuación diferencial de primer orden de la forma [matemática] z ‘= P (x) z + Q (x) [/ matemática]

cuya solución es [matemáticas] z = e ^ {\ int P (x) dx} ([\ int Q (x) e ^ {\ int-P (x) dx}] dx + C) [/ matemáticas]

donde [matemática] P (x) = 2tanx [/ matemática] y [matemática] Q (x) = -2secx [/ matemática]

Entonces [matemáticas] e ^ {\ int P (x) dx} = e ^ {\ int 2tanx dx} = e ^ {2 ln | secx |} = sec ^ {2} x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int Q (x). e ^ {\ int -P (x) dx} dx = \ int -2secx. \ frac {1} {sec ^ {2} x} dx [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {-2} {secx} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int -2cosx dx = -2sinx [/ matemáticas]

Ahora sustituimos todos estos valores por su solución.

[matemáticas] z = seg ^ {2} x [-2sinx + C] [/ matemáticas]

Vuelva a sustituir el valor de [matemáticas] z = y ^ {- 2}, [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ {- 2} = \ frac {-2sinx + C} {cos ^ {2} x} [/ matemáticas]

Answer 2

Ahora divide todo por [matemática] y ^ 3 [/ matemática]

Conseguirás,
[matemáticas] (1 / y ^ 3) dy / dx + (1 / y ^ 2) tan (x) = sec (x) [/ matemáticas]
Ahora, suponga [matemática] 1 / y ^ 2 = z [/ matemática], ahora diferencie wrt x para obtener,
[matemática] (- 2 / y ^ 3) dy / dx = dz / dx [/ matemática] o [matemática] (1 / y ^ 3) dy / dx = (-1/2) dz / dx [/ matemática]
Ahora, elimine y para obtener z
Entonces, la ecuación se convierte en,
[matemática] (- 1/2) dz / dx + ztan (x) = seg (x) [/ matemática] o [matemática] dz / dx + (-2tan (x)) z = -2seg (x) [/ matemáticas]
Ahora esta es la pista que puedo darte, a partir de ahora puedes continuar con facilidad.

Answer 3

[matemáticas] \ frac {1} {y ^ 3} \ frac {dy} {dx} + \ frac {\ tan x} {y ^ 2} = \ sec x [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] \ frac {1} {y ^ 2} = t [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] – \ frac {1} {2} \ frac {dt} {dx} + t \ tan x = \ sec x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {dt} {dx} -2t \ tan x = -2 \ sec x [/ matemáticas]

Esta es una ecuación diferencial lineal: utilice el factor integrador de Euler

[matemáticas] \ exp \ left (\ int -2 \ tan x dx \ right) = \ cos ^ {2} x [/ math]

Multiplicando e integrando, [matemáticas] t \ cos ^ {2} x = \ int -2 \ cos x + C [/ matemáticas]

Eso es [matemáticas] t \ cos ^ {2} x = -2 \ sen x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2 = \ frac {\ cos ^ {2} x} {C -2 \ sin x} [/ matemáticas]

Answer 4

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} + y \ tan x & = y ^ 3 \ sec x \\ y ^ {- 3} \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} + y ^ {- 2} \ tan x & = \ sec x \\\ hline \ text {Let} v = y ^ {- 2} \ implica & \ dfrac {\ mathrm dv} {\ mathrm dx} = – 2y ^ {- 3} \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} \\ & \ implica y ^ {- 3} \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = – \ dfrac12 \ dfrac {\ mathrm dv } {\ mathrm dx} \\\ hline – \ dfrac12 \ dfrac {\ mathrm dv} {\ mathrm dx} + v \ tan x & = \ sec x \\\ dfrac {\ mathrm dv} {\ mathrm dx} -2v \ tan x & = – 2 \ sec x \\\ text {Factor integrador:} & e ^ {\ int-2 \ tan x \, \ mathrm dx} = e ^ {2 \ ln \ cos x} = \ cos ^ 2 x \\\ hline \ mathrm d [v \ cos ^ 2 x] & = – 2 \ cos x \, \ mathrm dx \\\ int \ mathrm d [v \ cos ^ 2 x] & = – 2 \ int \ cos x \, \ mathrm dx \\ v \ cos ^ 2 x & = – 2 \ sin x + C \\ v & = – 2 \ sec x \ tan x + C \ sec ^ 2 x \\\ dfrac1 {y ^ 2 } & = – 2 \ sec x \ tan x + C \ sec ^ 2 x \\ y & = \ pm \ dfrac1 {\ sqrt {C \ sec ^ 2 x-2 \ sec x \ tan x}} \ end {align } \ tag * {} [/ math]

Answer 5

Solo una pequeña pista.

Siempre que tenga una ecuación no lineal de la forma [matemática] y ‘+ f (x) y = g (x) y ^ {\ alpha} [/ matemática] intente hacer la sustitución [matemática] u = y ^ {1 – \ alpha} [/ math], luego [math] u ‘= (1- \ alpha) y ^ {- \ alpha} y’ [/ math]. Ahora simplemente multiplique todo por [math] (1- \ alpha) y ^ {- \ alpha} [/ math], realice las sustituciones, y se convierte en una ecuación lineal en [math] u [/ math] que puede resolver usando Un factor integrador.

Answer 6

Ahora esta es una forma lineal. Entonces puedes continuar resolviendo desde aquí.

Answer 7

haga la transformación y = z ^ (-. 5) esto le dará cosx dz / dx-2sinx z = -2.

Luego haz la transformación u = cos ^ 2x. z Esto te dará u = -2sinx. Regrese las transformaciones anteriores y debería obtener z = -2tanx y luego y ^ 2 = -. 5cotx.cosx

Answer 8

Así es como lo haría. Reescribe la ecuación como d (y sin (x)) / dx = y ^ 3 so

que ysin (x) = C + y ^ 4/4 y continúe desde allí.