Cómo resolver [math] \ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} + y = 4t [/ math] usando el método del operador [math] D [/ math]

Answer 1

Lo primero que debe hacer en esta situación es borrar el lado derecho de la ecuación para dejar una ecuación homogénea, es decir, una igual a cero.

Con [math] 4t [/ math] es bastante fácil de borrar, solo tiene que aplicar el operador de diferenciación, D, dos veces.

Esto nos deja con:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dt ^ 2} + y = 4t [/ matemáticas]

[matemáticas] (D ^ 2 + 1) y = 4t [/ matemáticas]

[matemáticas] D ^ 2 (D ^ 2 + 1) y = D ^ 2 (4t) = 0 [/ matemáticas]

Ahora nos queda una ODE homogénea con coeficientes constantes, que se puede resolver encontrando las raíces de su ecuación característica. Una vez que sepamos las raíces, las soluciones serán sus exponenciales.

[matemáticas] \ lambda ^ 4 + \ lambda ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Entonces [math] \ lambda = 0 [/ math], [math] \ lambda = i [/ math] o [math] \ lambda = -i [/ math], donde cero tiene doble multiplicidad.

Esto significa que la solución debe tener la forma

[matemáticas] y = Ae ^ {(0t)} + Bte ^ {(0t)} + Ccos (t) + Dsin (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = A + Bt + Ccos (t) + Dsin (t) [/ matemáticas]

Donde A, B, C y D son constantes reales.

Sin embargo, la ecuación original era solo de segundo orden, por lo que la solución general solo debería tener dos grados de libertad. Fue solo el método el que aumentó el orden de la ecuación. Por lo tanto, debemos determinar dos de las constantes conectándolas a la ecuación.

[matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dt ^ 2} = -Ccos (t) – Dsin (t) [/ matemáticas]

Donde los términos A y Bt desaparecieron después de diferenciar dos veces y las funciones trigonométricas simplemente cambian de signo. Agregando:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dt ^ 2} + y = (-Ccos (t) – Dsin (t)) + (A + Bt + Ccos (t) + Dsin (t)) [/ matemáticas]

Lo que significa que

[matemáticas] A + Bt = 4t [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] A = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] B = 4 [/ matemáticas]

Finalmente llegamos a la solución general correcta:

[matemática] y = Ccos (t) + Dsin (t) + 4t [/ matemática]

Donde C y D pueden ser cualquier constante real.

Answer 2

[matemáticas] (D ^ 2 + 1) y = 4t [/ matemáticas]

Función de cortesía

la ecuación auxiliar es [matemática] m ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática] es decir [matemática] m + \ pm i [/ matemática]

[matemáticas] y_c = C_1 \ cos t + C_2 \ sin t [/ matemáticas]

Integral particular

[matemáticas] y_p = \ dfrac {1} {D ^ 2 + 1} t [/ matemáticas]

[matemáticas] = (1 + D ^ 2) ^ {- 1} t [/ matemáticas]. Ahora [math] (1 + D ^ 2) ^ {- 1} [/ math] se expandirá como series infinitas. Como el poder de t es uno, no necesitamos ningún término más alto que el primer poder de D

[matemáticas] = (1-D ^ 2 +… .-….) t [/ matemáticas]

[matemáticas] = tD ^ 2 t [/ matemáticas]; [matemáticas] D (t) = \ dfrac {d} {dt} t = 1 [/ matemáticas]; [matemáticas] D ^ 2 t = \ dfrac {d} {dt} 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y_p = t [/ matemáticas]

La solución completa es [matemáticas] y = C_1 \ cos tx + C_2 \ sin t + t [/ matemáticas]