Encuentre dy / dx cuando y = x ^ ln x (sec x) ^ 3x?

Answer 1

Plan:

Este no es un problema difícil, siempre que tengamos una estrategia clara para resolverlo. Cuando se enfrente a estos problemas, siempre debe tener el siguiente diálogo consigo mismo.

¿Cuál es la fuente de complicación? El hecho de que tenemos dos bestias desagradables multiplicadas entre sí.

¿Por qué es eso una fuente de complicaciones? Porque la regla del producto es una perra.

¿Cómo lo mitigamos? Convierta la multiplicación en una suma tomando toda la expresión debajo de las alas de una función de registro.

Ahora que conocemos el plan, hagámoslo realmente.

Implementación:

Comencemos reescribiendo la expresión en dos fragmentos:

[matemáticas] y = (x ^ {ln (x)}) (sec (x) ^ {3x}) [/ matemáticas]

Aquí vamos a aplicar el estúpido truco de mascota # 1 : Multiplicar una expresión por 1, escrita en una forma extraña (este es posiblemente el truco más útil en todas las matemáticas). Nuestra “forma extraña de 1” será [matemáticas] 1 = e ^ {ln {1}}. [/ Matemáticas]

[matemáticas] y = e ^ {(x ^ {ln (x)}) (sec (x) ^ {3x})} = e ^ {ln ^ 2 (x) + (3x) ln (sec {x}) }[/matemáticas]

Si está confundido acerca de este paso, revise sus propiedades de registro. No, podemos derivar este gran exponencial desagradable.

[matemáticas] y ‘= (ln ^ 2 x – (3x) ln (cos (x)))’ * y [/ matemáticas]

Este es ahora un cálculo simple, que diferencia las dos expresiones dentro de los paréntesis por separado:

[matemáticas] (ln ^ 2 x) ‘= ((ln (x)) ^ 2) = 2ln (x) * (ln (x))’ = \ frac {2ln (x)} {x} [/ math]

[matemáticas] (3x ln (cos x)) ‘= ((3x) (ln (cos x)))’ = ((3 ln (cos (x))) + 3x (ln (cos x)) ‘) = ((3 ln (cos (x))) – (3x) (\ frac {sin (x)} {cos (x)}) = ((3 ln (cos (x))) – 3x tan (x)) [/matemáticas]

Volviendo a la expresión anterior:

[matemáticas] y ‘= (2 \ frac {ln x} {x} – 3ln (cos x) + 3x tan x) x ^ {ln (x)} sec (x) ^ {3x} [/ matemáticas]

Espero que esto ayude 🙂

Answer 2

Si [matemáticas] y \, = \, x ^ {f (x)}, \ qquad entonces \ qquad \ frac {dy} {dx} \, = \, y \, \ left (\ frac {f (x) } {x} \, + \, \ log x \, f ‘(x) \ right) [/ math]

Si [matemáticas] y \, = \, (\ sec x) ^ {3x}, \ qquad entonces \ quad \ frac {dy} {dx} \, = \, (\ sec x) ^ {3x} \, \ left (3x \, \ tan x \, + \, 3log (\ sec x) \ right) [/ math]

Si [matemáticas] y \, = \, \ log x \, (\ sec x) ^ {3x}, \ qquad entonces \ quad \ frac {dy} {dx} \, = \, \ frac {(\ sec x ) ^ {3x}} {x} \, + \, \ log x \, (\ sec x) ^ {3x} \, \ left (3x \, \ tan x \, + \, 3log (\ sec x) \ right) [/ math]

[matemática] y \, = \, x ^ {\ log x \, (\ sec x) ^ {3x}} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica \ qquad \ frac {dy} {dx} \, = \, x ^ {\ log x (\ sec x) ^ {3x}} \ left [\ frac {\ log x (\ sec x) ^ {3x}} {x} \, + \, \ log x \, \ left (\ frac {(\ sec x) ^ {3x}} {x} \, + \, \ log x \, (\ sec x) ^ {3x} \, \ left (3x \, \ tan x \, + \, 3log (\ sec x) \ right) \ right) \ right] [/ math]