Bueno, supongo que los términos [math] dx [/ math] y [math] dy [/ math] se refieren a diferenciales, haciendo de esta una ecuación diferencial.
La respuesta no es tan simple, pero según wolframalpha tiene una forma cerrada.
Lo voy a resolver como lo hace Wolfram.
Primero reescribe la ecuación como
- ¿Es la ecuación [matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ left | f ” (x) \ right |} {\ left (1 + f ‘(x) ^ 2 \ right) ^ \ frac {3} {2}} = \ sqrt {x ^ 2 + f (x) ^ 2} [/ math] solucionable?
- ¿Es la ecuación diferencial [matemáticas] \ frac {d} {dx} f (x) = \ sqrt {x ^ 2 + f (x) ^ 2} [/ matemáticas] solucionable?
- Cómo resolver la siguiente ecuación diferencial: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} + y \ tan {x} = y ^ 3 \ sec {x} [/ matemáticas]
- ¿Cuáles son algunas ecuaciones lineales muy implícitas (como [matemáticas] xy = \ frac {x ^ 2} {y} + \ frac {y ^ 2} {x} [/ matemáticas])?
- ¿Por qué algunas universidades requieren Cálculo III como requisito previo para las Ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que otras solo requieren Cálculo II?
[matemática] (x + y + 3) – (2x + 2y-1) \ frac {dy} {dx} = 0 [/ matemática] (Básicamente divida ambos lados entre [matemática] dx [/ matemática])
Entonces comprenda que [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] es solo [math] y ‘[/ math], entonces
[matemáticas] x + y + 3- (2x + 2y-1) y ‘= 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x + y (x) + 3- (2x + 2y (x) -1) (\ frac {dy} {dx}) = 0 [/ matemáticas]
Esta ecuación diferencial es de primer orden (el mayor grado de diferenciación es 1) y no lineal.
Para que sea más fácil de resolver, hacemos una transformación, definimos
[matemáticas] z (x) = y (x) + x [/ matemáticas] y
[matemáticas] z ‘(x) = y’ (x) + 1 = \ frac {dy} {dx} +1 [/ matemáticas]
Reorganizamos la ecuación diferencial para facilitar la sustitución de la siguiente manera
[matemáticas] y (x) + x – (2 (y (x) + x) -1) y ‘+ 3 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] z (x) – (2z (x) -1) (z ‘(x) -1) + 3 = 0 [/ matemáticas]
Y simplificando (distribuyendo los términos de multiplicación y unión) obtenemos
[matemática] z ‘(x) + z (x) (- 2z’ (x) +3) + 2 = 0 [/ matemática]
¿Por qué hicimos todo esto? Porque ahora la ecuación es “separable”, lo que significa que se puede escribir como
[matemáticas] M (z) dz = N (x) dx [/ matemáticas]
Lo que significa que cada lado solo depende de una variable (si observa la ecuación antes de la transformación, tiene términos mixtos, es decir, [matemática] xy ‘[/ matemática])
Para resolverlo, ahora tenemos que separarlo e integrar ambos lados.
Expandiendo lo que teníamos, y obtenemos
[matemática] z ‘(x) – 2z (x) z’ (x) + 3z (x) + 2 = 0 [/ matemática]
[matemáticas] z ‘(1 – 2z) + 3z + 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dz} {dx} (1-2z) + 3z + 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dz} {dx} = \ frac {-3z-2} {1-2z} [/ matemáticas] o
[matemáticas] \ frac {1-2z} {- 3z-2} * \ frac {dz} {dx} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1-2z} {- 3z-2} dy = dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int \ frac {1-2z} {- 3z-2} dy = \ int dx [/ matemáticas]
Entonces obtenemos
[matemáticas] \ frac {1} {9} (6z-7log (3z + 2) +4) + c_1 = x + c_2 [/ matemáticas]
[matemática] 6z – 7log (3z + 2) + 4 = 9x + c [/ matemática]
Y porque [matemáticas] z (x) = y (x) + x [/ matemáticas], entonces
[matemática] 6 (y + x) – 7log (3 (y + x) +2) + 4 = 9x + c [/ matemática], donde c es una constante que depende de los parámetros iniciales de y (x).
Y esa es la solución implícita, si lo ejecutas en wolframalfa para y (x) obtienes
[matemáticas] y (x) = (\ frac {1} {6} (- 7W (\ frac {2} {7} (- e ^ {- 9x + c}) ^ {1/7} -4)) -x [/ matemáticas]
o
[matemáticas] y (x) = (\ frac {1} {6} (- 7W ((- e ^ {- (9/7) x + c-1}) – 1)) – x + \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
donde [math] W [/ math] es la función Lambert-W