Este es un caso de ecuación diferencial de segundo orden no homogénea,
Entonces, primero resolvemos la parte homogénea, luego obtenemos 2 soluciones linealmente independientes que forman la base, y para la parte no homogénea podemos resolverla usando el método de coeficientes indeterminados o variación de parámetros,
Así que aquí vamos por la parte homogénea,
[matemáticas] x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} -4x \ frac {dy} {dx} + 6y = 0 [/ matemáticas]
- ¿Cómo se resuelve [math] \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} = k \ cos (\ theta (t)) [/ math]?
- ¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial después de reducirla a forma polar, [matemáticas] x = r \ cos \ theta [/ matemáticas] y [matemáticas] y = rsin \ theta [/ matemáticas], [matemáticas] (x- 2y) dy- (2x + y) dx = 0? [/ Matemáticas]
- ¿Qué es la diferenciación? La diferenciación de x ^ 2 es 2x. Qué significa eso?
- ¿Cuál es la solución para [mathr] (x + y + 3) \ mathrm dx- (2x + 2y-1) \ mathrm dy = 0 [/ math]?
- ¿Es la ecuación [matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ left | f ” (x) \ right |} {\ left (1 + f ‘(x) ^ 2 \ right) ^ \ frac {3} {2}} = \ sqrt {x ^ 2 + f (x) ^ 2} [/ math] solucionable?
Este es el caso de la ecuación de Euler-Cauchy, comenzamos sustituyendo [math] y = x ^ m [/ math] en la ecuación, para obtener la ecuación auxiliar,
[matemática] m ^ 2-5m + 6 = 0 [/ matemática] cuyas raíces son [matemática] m = 2,3 [/ matemática]
entonces obtenemos la solución base como [matemática] x ^ 2, x ^ 3 [/ matemática] y la solución homogénea como [matemática] c_1x ^ 2 + c_2x ^ 3 [/ matemática]
Ahora necesitamos encontrar una solución particular que se pueda encontrar por el método de coeficientes indeterminados o variación de parámetros,
para coeficientes indeterminados, podemos tomar cualquier solución particular para que tenga forma
[matemática] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática], sustituya esto por la solución y compare por coeficientes para resolver [matemática] a, b, c. [/ matemática]
El segundo método es la variación de parámetros, que es
[matemáticas] y_p = -y_1 \ int \ frac {y_2r} {W} dx + y_2 \ int \ frac {y_1r} {W} dx [/ matemáticas]
donde [math] y_1, y_2 [/ math] son las soluciones de la parte homogénea y donde [math] r [/ math] se encuentra al comparar con la ecuación diferencial estándar de segundo orden
[matemáticas] y ” + py ‘+ qy = r [/ matemáticas] y W es el wronskiano de [matemáticas] y_1, y_2 [/ matemáticas]
que es [math] y_1y_2′-y_2y_1 ‘[/ math]
Nota: tenga cuidado al hacer la ecuación a la forma requerida.