¿Cómo se resuelve [math] \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} = k \ cos (\ theta (t)) [/ math]?

Answer 1

Dado:

[matemáticas] \ ddot \ theta = k \ cos (\ theta) \ tag {1} [/ matemáticas]

Reescribe la segunda derivada de [math] \ theta [/ math] de acuerdo con su definición:

[matemáticas] \ ddot \ theta = \ dfrac {d \ dot \ theta} {dt} \ tag {2} [/ matemáticas]

Ponga ( 2 ) en ( 1 ):

[matemáticas] \ dfrac {d \ dot \ theta} {dt} = k \ cos (\ theta) \ tag {3} [/ matemáticas]

Multiplica ambos lados de ( 3 ) por [math] dt [/ math]:

[matemáticas] d \ dot \ theta = k \ cos (\ theta) dt \ tag {4} [/ matemáticas]

Ahora multiplique ambos lados de ( 4 ) por [math] \ dot \ theta [/ math]:

[matemáticas] \ dot \ theta d \ dot \ theta = k \ cos (\ theta) dt \ dot \ theta \ tag {5} [/ matemáticas]

y expanda la definición de [math] \ dot \ theta [/ math] en el lado derecho del signo igual en ( 5 ):

[matemáticas] \ dot \ theta d \ dot \ theta = k \ cos (\ theta) dt \ dfrac {d \ theta} {dt} \ tag {6} [/ math]

A continuación (tss, no le digas a nadie que te dije que hagas eso) cancela los [math] dt [/ math] s:

[matemáticas] \ dot \ theta d \ dot \ theta = k \ cos (\ theta) {d \ theta} \ tag {7} [/ matemáticas]

Lo que hemos logrado hacer es separar las variables en ( 7 ) y ahora podemos integrarlo una vez:

[matemáticas] \ dfrac {\ dot \ theta ^ 2} {2} = k \ sin (\ theta) + C \ tag {8} [/ matemáticas]

A partir de las condiciones iniciales, que no proporcionó, tendrá que encontrar [matemáticas] C [/ matemáticas] y, muy probablemente, será:

[matemáticas] C = -k \ sin (\ theta_0) \ tag {9} [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] \ dot \ theta ^ 2 = 2k (\ sin (\ theta) – \ sin (\ theta_0)) \ tag {10} [/ math]

o:

[matemáticas] \ dfrac {d \ theta} {\ sqrt {\ sin (\ theta) – \ sin (\ theta_0)}} = \ sqrt {2k} \ cdot dt \ tag {11} [/ math]

que debería poder integrar con la ayuda de la siguiente identidad:

[matemáticas] \ sin \ theta = 1 – 2 \ sin ^ 2 \ Big (\ dfrac {\ pi} {4} – \ dfrac {\ theta} {2} \ Big) \ tag * {} [/ math]

y reduzca la solución a una integral elíptica del primer tipo.

Answer 2

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {\ mathrm d ^ 2 \ theta} {\ mathrm dt ^ 2} & = k \ cos \ theta \\\ text {Let} & P = \ dfrac {\ mathrm d \ theta } {\ mathrm dt}, \ text {then} \ dfrac {\ mathrm d ^ 2 \ theta} {\ mathrm dt ^ 2} = P \ dfrac {\ mathrm dP} {\ mathrm d \ theta} \\\ hline P \ dfrac {\ mathrm dP} {\ mathrm d \ theta} & = k \ cos \ theta \\\ int P \ mathrm \, dP & = \ int k \ cos \ theta \, \ mathrm d \ theta \\\ dfrac12P ^ 2 & = k \ sin \ theta + C_1 \\ P ^ 2 & = 2k \ sin \ theta + C_2, \ qquad (2C_1 = C_2) \\\ dfrac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} & = \ sqrt {2k \ sin \ theta + C_2} \\\ int \ mathrm dt & = \ int \ dfrac {\ mathrm d \ theta} {\ sqrt {2k \ sin \ theta + C_2}} \\ t & = \ dfrac1 { \ sqrt {2k}} \ int \ dfrac {\ mathrm d \ theta} {\ sqrt {\ sin \ theta + C_3}}, \ qquad \ left (C_3 = \ dfrac {C_2} {2k} \ right) \\ & \ text {Let} \ theta = \ dfrac \ pi2-x \ implica \ mathrm d \ theta = – \ mathrm dx \\ t & = – \ dfrac1 {\ sqrt {2k}} \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {\ sqrt {\ sin \ left (\ dfrac \ pi2-x \ right) + C_3}} \\ t & = – \ dfrac1 {\ sqrt {2k}} \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {\ sqrt {C_3 + \ cos x}} \\ t & = – \ dfrac1 {\ sqrt {2k}} \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {\ sqrt {C_3 + 1-2 \ sin ^ 2 \ dfrac x2}} \\ t & = – \ dfrac1 {\ sqrt {2k}} \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {\ sqrt {(C_3 + 1) -2 \ sin ^ 2 \ dfrac x2}} \\ t & = – \ dfrac1 {\ sqrt {2k (C_3 + 1)}} \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {\ sqrt {1- \ dfrac2 {C_3 + 1} \ sin ^ 2 \ dfrac x2}} \\ t & = – \ dfrac1 {\ sqrt {2k (C_3 + 1)}} F \ left (\ dfrac x2 \ bigg | \ dfrac2 {C_3 + 1} \ right) + C_4 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

• Integral elíptica incompleta del primer tipo [matemática] F (\ theta | k ^ 2) = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ mathrm d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta}} [/matemáticas]

Answer 3

Darse cuenta de,

[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ frac {1} {2} \ left (\ frac {d \ theta} {dt} \ right) ^ 2 = \ frac {d ^ 2 \ theta} {dt ^ 2} \ frac {d \ theta} {dt} [/ math]

y

[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ sin (\ theta (t)) = \ cos (\ theta (t)) \ frac {d \ theta} {dt} [/ math]

¿Cómo se comparan estos términos con los de su ecuación? Una vez que vea eso, verá inmediatamente cómo encontrar la solución.

Answer 4

A primera vista, y a primera vista es un concepto importante, descartaría la existencia de una solución de forma cerrada. Esta cosa debe abordarse numéricamente.

Solo por pura curiosidad, me siento tentado a descubrir qué ODE de segundo orden se satisfaría con x (t) = cos (f (t)), si corresponde. Entonces miramos

[matemáticas] x ” = – (f ” sin f) + (f ‘) ^ 2 x [/ matemáticas]

Aquí, creo. Hm. Ir numérico aún sería mi solución favorita.

Answer 5

Hmmm No he hecho esto desde mis 20 años y los extraño. ¿Supongo que estás en un curso de cálculo del cuarto semestre?

Piénsalo. ¿Cómo funcionan los derivados de senos y cosenos? Sugerencia: las derivadas dobles básicamente cambiarán el signo de un lado a otro, ¿verdad? Y eso lo llevará a una respuesta que podría llamar una respuesta “específica”.

Luego, para una respuesta más “general”, podría considerar agregar en el caso en que la segunda derivada de theta sea igual a cero ya que, bueno, está agregando cero. ¿Qué es una derivada de una constante? Cero, ¿verdad? Entonces, si la derivada de theta es solo 1, y la derivada de 1 es cero, puede agregar algo como c (theta) + d donde c y d son constantes, y agregar eso a su solución específica y listo, usted Tener una solución general.

Eso es todo lo que puedo darte sin hacer todo el problema por ti. Me sorprendería mucho si no encuentras la respuesta que se te cae de las narices en este momento, pero todavía quiero que lo pienses bien solo porque soy el profesor o tutor de matemáticas más malo, desagradable y cruel. 🙂