¿Puedes expresar una ecuación diferencial parcial en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias?

Answer 1

En algunos casos: si!

Típicamente a través del uso del “Método de Características”.

Si, por ejemplo, tiene un PDE:

[matemáticas] \ frac {\ partial {\ rho}} {\ partial {t}} + \ frac {\ partial {J}} {\ partial {x}} = s (x, t). [/ math]

Y [math] J [/ math] es una función de [math] \ rho [/ math]. Luego puede usar la regla de la cadena para obtener:

[matemáticas] \ frac {\ partial {\ rho}} {\ partial {t}} + \ frac {\ partial {J}} {\ partial {\ rho}} \ frac {\ partial {\ rho}} {\ parcial {x}} = s (x, t). [/ math]

Pero, aparte, también sabemos que si [math] \ rho [/ math] depende solo de [math] x [/ math] y [math] t [/ math], entonces la derivada total puede expandirse en términos de sus parciales:

[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ partial {\ rho}} {\ partial {t}} + \ frac {\ mathrm {d} x } {\ mathrm {d} t} \ frac {\ partial {\ rho}} {\ partial {x}}. [/ math]

Entonces, si consideramos que un observador viaja a una velocidad de [matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ partial {J}} {\ partial {\ rho} } [/ math], los PDE se reducen a un conjunto de ODE!

[matemática] \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ partial {J}} {\ partial {\ rho}} [/ math],

[math] \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t} = s (x, t). [/ math]

Voila

Answer 2

No sé si esto es lo que está buscando, pero en el curso de la resolución de un PDE, a menudo es posible reducirlo a un ODE. Si está familiarizado con el concepto de transformadas de Laplace o de Fourier que se aplican a las EDO, sabe que puede usar estas técnicas para reducir una EDO a una ecuación algebraica (que luego resuelve e invierte para encontrar la solución a la EDO) . Del mismo modo, puede aplicar estas transformaciones a una de las variables independientes de un PDE para obtener una ecuación que sea algebraica en la variable transformada. Entonces, si tuviera una PDE con variables independientes xyt, y usara una transformada de Fourier con respecto a t, ¡obtendría una ODE! ¡Este ODE dependería algebraicamente de la variable de transformación, y al resolver este ODE e invertir la solución, obtendría la solución para el PDE!

Answer 3

En efecto. Si sabe que todos los parámetros son función de otra variable.

Piense en P = mv, donde myv son constantes, si se nos dice que myv son funciones del tiempo, t, entonces todo cambia. Ya no tenemos un momento lineal constante sino una variable con respecto a t ahora se llama fuerza de impulso,

dP / dt = m dv / dt + v dm / dt – Segunda ley de Newton para masa variable. Si además se nos dice que myv también son funciones de la posición x, entonces se vuelve aún más interesante:

Ahora usamos derivadas parciales:

\ frac {\ partial P} {\ partial t} = m (x, t) \ frac {\ partial v (x, t)} {\ partial t} + v (x, t) \ frac {\ partial m ( x, t)} {\ parcial t}

Entonces, ahora puede ver que cada situación depende de la cantidad de variables que afectan los parámetros elegidos. Ha logrado transitar con éxito entre la ecuación diferencial parcial y las ecuaciones diferenciales completas, pero como puede ver, debe tener mucho cuidado de no perderse las variables. Como regla general, me gusta representarlos como derivados parciales y descartarlos indicando explícitamente el caso exacto antes de cambiarlos a derivados completos. Espero que te ayude un poco.