¿Cuáles son los métodos de limitación numérica para resolver ecuaciones diferenciales parciales?

Answer 1

Regrese y revise sus notas sobre las limitaciones para resolver ODE numéricamente. Algunos métodos son estables (Euler hacia atrás), algunos no lo son (Euler hacia adelante) y algunos tienen menos errores globales que otros.

Se trata del análisis de la expansión de Taylor sobre el punto actual a lo largo de la trayectoria; Los métodos que representan más términos en la expansión tienen menos truncamiento y error global. Además, no piense ciegamente que puede elegir arbitrariamente un método de orden superior y obtener una estimación precisa de cualquier problema. Algunos métodos de orden superior son inestables para problemas rígidos. Por ejemplo, los métodos explícitos de Runge Kutta son inestables para una gran clase de IVP cuando los valores propios de la matriz del sistema tienen una separación grande (es decir, todos los valores propios son de magnitud pequeña, excepto uno grande).

Tenga en cuenta: todos los métodos numéricos están limitados, ya que se requiere un análisis adicional para determinar qué métodos se aplican mejor a qué problemas.

Answer 2

Los métodos numéricos no resuelven ecuaciones diferenciales parciales. Solo pueden aproximarles una solución. Entonces las limitaciones tienden a estar en una de dos categorías:

1. ¿Se puede aproximar la solución?
2. ¿Cuánta precisión se requiere?

Para el número 1, a veces no existe una solución. Es difícil de ver de inmediato, y solo puede hacerse evidente a través de horas de análisis. Para el número 2, todos los métodos tienen diferentes precisiones, la mayoría de los cuales se basa en el número de puntos de la cuadrícula. Por lo tanto, puede estar limitado en su aproximación por la potencia informática disponible.

Hay una multitud de limitaciones para cada metodología individual (el espectro odia las discontinuidades, la diferencia finita odia los dominios mal formados, el volumen finito impone precisión pero puede ignorar la fisicalidad, los elementos finitos son difíciles de generalizar, etc., etc.). Pero en general, si puede ser aproximado (ver número 1), puede encontrar un método para hacerlo. Y si necesita precisión, puede encontrar una computadora lo suficientemente grande como para proporcionarla.