¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemática] \ left (1 + x ^ 2 \ right) \ dfrac {dy} {dx} -xy (1 + y) = 0 [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] (1 + x ^ 2) \ frac {dy} {dx} -xy (1 + y) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + x ^ 2) \ frac {dy} {dx} = xy (1 + y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {y (1 + y)} dy = \ frac {x} {1 + x ^ 2} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ frac {1} {y} – \ frac {1} {1 + y}) dy = \ frac {x} {1 + x ^ 2} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln | \ frac {y} {1 + y} | = \ frac {1} {2} \ ln | {1 + x ^ 2} | + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln | \ frac {y} {1 + y} | = \ frac {1} {2} \ ln | {e ^ C (1 + x ^ 2}) | [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln | \ frac {y} {1 + y} | = \ ln | {(e ^ C (1 + x ^ 2}) ^ \ frac {1} {2}) | [/ math]

[matemáticas] | \ frac {y} {1 + y} | = (e ^ C (| 1 + x ^ 2 |) ^ \ frac {1} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] | 1- \ frac {1} {1 + y} | = (e ^ C (| 1 + x ^ 2 |) ^ \ frac {1} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + x ^ 2 [/ matemáticas] siempre es positivo.

[matemáticas] 1- \ frac {1} {1 + y} = \ pm (e ^ C (1 + x ^ 2) ^ \ frac {1} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \ mp (e ^ C (1 + x ^ 2) ^ \ frac {1} {2}) = \ frac {1} {1 + y} [/ matemáticas]

[matemáticas] y + 1 = \ frac {1} {1 \ mp (e ^ C (1 + x ^ 2) ^ \ frac {1} {2})} [/ matemáticas]

Finalmente: [matemáticas] y = \ frac {1} {1 \ mp (e ^ C (1 + x ^ 2) ^ \ frac {1} {2})} – 1 [/ matemáticas]

Answer 2

¿Separación de variables? [matemática] \ frac {dy} {y (1 + y)} = \ frac {x dx} {1 + x ^ 2} [/ matemática]. Sí, ok. Podemos hacerlo. Como la ecuación es separable, puede integrar ambos lados por separado. El LHS puede reescribirse como [matemática] (\ frac {1} {y} – \ frac {1} {1 + y}) dy [/ matemática] utilizando la descomposición de fracción parcial. La integral del LHS es entonces [math] \ log y – \ log (1 + y) + [/ math] alguna constante. Esto se puede simplificar aún más usando la propiedad de restar registros: [math] \ log y – \ log (1 + y) = \ log \ frac {y} {1 + y} [/ math]. La integral RHS se calcula utilizando una simple sustitución [matemática] u [/ matemática]: [matemática] u = 1 + x ^ 2 [/ matemática]. La integral es [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática] [matemática] log (1 + x ^ 2) + [/ matemática] alguna constante.

Tiene registros en ambos lados, por lo tanto, simplemente exponga ambos lados: [matemáticas] \ frac {y} {1 + y} = C \ sqrt {1 + x ^ 2} [/ matemáticas].

Answer 3

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Es una ecuación diferencial separable variable: –

[matemáticas] \ implica \ izquierda (1 + x ^ 2 \ derecha) \ dfrac {dy} {dx} -xy (1 + y) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica \ izquierda (1 + x ^ 2 \ derecha) \ dfrac {dy} {dx} = xy (1 + y) [/ matemática]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {y (1 + y)} = \ dfrac {x \, dx} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int \ left (\ dfrac {1} {y} – \ dfrac {1} {1 + y} \ right) \, dy = \ displaystyle \ int \ dfrac {x \, dx} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ boxed {\ ln \ left | \ dfrac {y} {1 + y} \ right | = \ dfrac {1} {2} \ ln \ left | 1 + x ^ 2 \ right | + C }[/matemáticas]

Answer 4

(1 + x ^ 2) dy / dx = xy (y + 1)
dy / y (y + 1) = xdx / 1 + x ^ 2
dy / (y + 0.5) ^ 2-0.25 = dt / 2t
(tomando 1 + x ^ 2 = t)
ln (y / y + 1) = 0.5ln (1 + x ^ 2) + c
Al resolver la ecuación
Obtenemos
Y = ((1 + x ^ 2) ^ 0.5 / 1- (1 + x ^ 2) ^ 0.5) + c
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