Después de pasar horas en esta pregunta, tengo algunos métodos para evaluar esto.
El resultado es tan elegante que lo mantendrá aturdido por un tiempo, ya que también aprecia la belleza de las matemáticas.
Método 1:
Es importante tener en cuenta que [math] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {i (x + y) s} \ mathrm {d} s = \ dfrac {2 \ sin (x + y) } {x + y} [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemática] \ left (1 + x ^ 2 \ right) \ dfrac {dy} {dx} -xy (1 + y) = 0 [/ math]?
- ¿Cuáles son los métodos de limitación numérica para resolver ecuaciones diferenciales parciales?
- ¿Puedes expresar una ecuación diferencial parcial en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias?
- Cómo usar la sustitución para ir de y ‘(t) = ky (t) a y (t) = C [matemáticas] e ^ {kt} [/ matemáticas]
- Cómo resolver la ecuación diferencial [matemáticas] y ‘(x) = x + y (x) + xy (x) + y ^ 3 (x) [/ matemáticas]
La prueba es simple
[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {i (x + y) s} \ mathrm {d} s = \ int _ {- 1} ^ {1} \ left (\ underbrace {\ cos \ left [(x + y) s \ right]} _ {\ text {Even}} + i \ underbrace {\ sin \ left [(x + y) s \ right]} _ {\ text {Odd}} \ right) \ mathrm {d} s = 2 \ int_ {0} ^ {1} \ cos \ left [(x + y) s \ right] \ mathrm {d} s = \ dfrac {2 \ sin (x + y)} {x + y} [/ matemáticas]
Ahora,
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin x \ sin y \ sin (x + y)} {xy (x + y )} \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin x \ sin y} {xy} \ dfrac {1} {2} \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {i (x + y) s} \ mathrm {d} s \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y [/ matemáticas]
Usando simetría,
[matemáticas] I = \ displaystyle \ dfrac {1} {2} \ int _ {- 1} ^ {1} \ left [\ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin x} {x} e ^ {isx} \ mathrm {d} x \ right] ^ 2 \ mathrm {d} s [/ math]
[matemáticas] I = \ displaystyle \ dfrac {1} {2} \ int _ {- 1} ^ {1} \ left [i \ tanh ^ {- 1} s + \ dfrac {\ pi} {2} \ right] ^ 2 \ mathrm {d} s [/ math]
[matemáticas] I = \ displaystyle \ dfrac {\ pi ^ 2} {4} – \ int_ {0} ^ {1} (\ tanh ^ {- 1} s) ^ 2 \ mathrm {d} s [/ math]
[matemáticas] I = \ displaystyle \ dfrac {\ pi ^ 2} {4} – \ dfrac {1} {4} \ underbrace {\ int_ {0} ^ {1} \ ln ^ {2} \ left (\ dfrac {1 + s} {1-s} \ right)} _ {\ frac {\ pi ^ 2} {3}} \ mathrm {d} s [/ math]
[matemáticas] \ implica \ displaystyle I = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ boxed {\ boxed {\ zeta (2)}} [/ math]
Método 2: (usando el truco de Feynman)
Primero tenga en cuenta las siguientes integrales, que se pueden probar fácilmente:
[matemáticas] I_ {1} = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ ln ^ {2} \ left (\ dfrac {1-x} {1 + x} \ right) \ mathrm {d} x = \ dfrac {\ pi ^ 2} {3} [/ math]
[matemáticas] I_ {2} = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ sin x \ cos ax} {x} \ mathrm {d} x = \ dfrac {\ pi} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] I_ {3} = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin x \ sin ax} {x} \ mathrm {d} x = \ dfrac {1} {2} \ ln \ left (\ dfrac {1-a} {1 + a} \ right) [/ math]
Ahora,
Deje que [matemáticas] I (a) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin x \ sin y \ sin \ left [a (x + y ) \ right]} {xy (x + y)} \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y [/ math]
[matemáticas] I ‘(a) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin x \ sin y \ left [\ cos ax \ cos ay – \ sin ax \ sin ay \ right]} {xy} \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y [/ math]
[matemáticas] I ‘(a) = I_ {2} ^ 2 – I_ {3} ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] I ‘(a) = \ displaystyle \ dfrac {\ pi ^ 2} {4} – \ dfrac {1} {4} \ ln \ left (\ dfrac {1-a} {1 + a} \ right )[/matemáticas]
Integrar de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] 1 [/ matemáticas] para obtener,
[matemáticas] I = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]
Método 3: (También usando el truco de Feynman, una forma similar de evaluar la integral de Dirichlet)
[matemáticas] F (a) = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin x \ sin y \ sin (x + y)} {xy ( x + y)} e ^ {- a (x + y)} \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y [/ math]
[matemáticas] F ‘(a) = – \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin x \ sin y \ sin (x + y) e ^ {-a (x + y)}} {xy} [/ math]
Usando [math] \ sin (x + y) [/ math] expansión ahora y argumento de simetría para obtener,
[matemáticas] F ‘(a) = \ displaystyle -2 \ left (\ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin ^ 2x e ^ {- ax}} {x} \ mathrm {d} x \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin y \ cos ye ^ {- ay}} {y} \ mathrm {d} y \ right) [/ math]
Ahora use el hecho de que [math] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin ^ 2x e ^ {- ax}} {x} \ mathrm {d} x = \ dfrac {1} { 4} \ log \ left (\ dfrac {4} {a ^ 2} + 1 \ right) [/ math] y proceda usando transformadas de Laplace para calcular [math] F (0) [/ math].
De todos modos, es sorprendente percibir cómo una integral como esta está conectada a la función Riemann Zeta.