El problema dado es:
[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x} – \ frac {2} {x} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + (1+ \ frac {2} {x ^ {2}}) y = xe ^ {x} [/ math]
Dejar
[matemáticas] \ frac {y} {x} = v [/ matemáticas] entonces, [matemáticas] y = vx [/ matemáticas]
- ¿Cómo clasificarías la ecuación diferencial dx / dy = y ^ 2 – 2y ^ 2x y encontrarías la solución general?
- ¿Dónde exactamente tengo que usar las condiciones de contorno cuando quiero resolver una ecuación diferencial por la transformada de Fourier?
- Si d / dx es en sí mismo un operador único, entonces ¿por qué es correcto separar dy y dx de dy / dx mientras se resuelven ecuaciones diferenciales?
- ¿Por qué no podemos aplicar la regla de la cadena al diferenciar y = x ^ y?
- ¿Qué es dy / dx?
Al diferenciarlo, obtenemos
[matemática] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = v + x \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} [/ math]
De nuevo diferenciando obtenemos
[math] \ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x ^ {2}} = x \ frac {\ mathrm {d} ^ {2} v} {\ mathrm {d } x ^ {2}} + 2 \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x} [/ math]
Sustituyendo los valores de [math] \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}, [/ math] [math] \ frac {\ mathrm {d} y } {\ mathrm {d} x} [/ math] y [math] y [/ math] en el problema dado, la ecuación se convierte en:
[matemática] x \ frac {\ mathrm {d} ^ {2} v} {\ mathrm {d} x ^ {2}} + vx = xe ^ {x} [/ math]
dividiendo entre [matemáticas] x [/ matemáticas] a lo largo de todo lo que obtenemos
[matemática] \ frac {\ mathrm {d} ^ {2} v} {\ mathrm {d} x ^ {2}} + v = e ^ {x} [/ math]
La ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden, cuya solución se da en dos partes, es decir, la función complementaria y la integral particular.
La función complementaria se puede encontrar tomando la ecuación auxiliar, es decir
[matemáticas] D ^ {2} + 1 = 0 [/ matemáticas]
resolviendo esta ecuación obtenemos: [matemáticas] D = \ pm i [/ matemáticas]
La función complementaria resulta ser
[matemáticas] c_ {1} \ cos x + c_ {2} \ sen x [/ matemáticas]
Ahora encontrar la integral particular usando
[matemáticas] \ frac {1} {D ^ {2} +1} e ^ {x} = \ frac {1} {1 ^ {2} +1} e ^ {x} = \ frac {1} {2 } e ^ {x} [/ matemáticas]
La solución completa viene dada por:
[matemáticas] v = CF + PI [/ matemáticas]
cual es:
[matemáticas] v = [/ matemáticas] [matemáticas] c_ {1} \ cos x + c_ {2} \ sen x + \ frac {1} {2} e ^ {x} [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] y = x (c_1 \ cos x + c_2 \ sin x + \ frac {1} {2} e ^ x). [/ matemáticas]
