Contestaré con respecto al método de transformación de Fourier finito utilizado para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) en dos dimensiones espaciales, generalmente [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], y una dimensión temporal, [matemáticas] t [/ matemáticas]. (Esta respuesta puede extenderse a una solución general para PDE usando una transformada de Fourier.) Tal PDE se mostraría al analizar la transferencia de masa en un tiempo infinitamente largo (en la tercera dimensión espacial irrelevante, [math] z [/ math]) barra cuadrada con el tiempo. Se llama la transformación de Fourier finita porque nuestras dos dimensiones espaciales relevantes, [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], están en intervalos finitos. Por ejemplo, podemos decir que [matemáticas] 0 <x <L [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 <y <L [/ matemáticas].
Antes de abordar el problema, debe observar cuáles son sus condiciones límite. Los más comunes son la condición de límite de Dirichlet y la condición de límite de Neumann , también conocida como la condición de límite de valor y la condición de límite de flujo, respectivamente. Por ejemplo, cuando su problema le dice que tiene dos valores conocidos, o que tiene condiciones límite de Dirichlet, que especifican el valor de su función [math] \ Phi [/ math] en [math] x = 0 [/ math] y [math] x = L [/ math] entonces usarías la transformación senoidal finita y sus derivados. Si recibe flujos o condiciones de contorno de Neumann, utilice la transformación de coseno finita y sus derivados. Por ejemplo, un flujo podría ser el valor no de [math] \ Phi [/ math] sino de [math] \ dfrac {\ partial \ Phi} {\ partial x} = \ alpha [/ math] donde [math] \ alpha [/ math] es un valor constante.
Después de averiguar qué tipo de condiciones de contorno se dan, transforma las condiciones iniciales usando la FFT correcta, ya sea una transformación senoidal o cosenoidal. En ocasiones, las condiciones de contorno se mezclan y se pueden utilizar otras transformaciones específicas.
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Tenga en cuenta que los dos casos mixtos, II y III, son complicados, pero como se discutió anteriormente, el caso I, con ambas condiciones de contorno de Dirichlet utiliza el seno FFT, mientras que el caso IV con ambas condiciones de contorno de Neumann utiliza el coseno FFT. En el gráfico anterior, [matemática] 0 [/ matemática] puede reemplazarse con cualquier valor, y [matemática] l [/ matemática] puede reemplazarse con la longitud de su intervalo en esa dimensión espacial. Como nota al margen, generalmente al resolver estos problemas en ingeniería, los valores específicos se escalan y no se dimensionan para facilitar el cálculo.
Para transformar su condición inicial, multiplique lo que sea [math] \ Phi_n [/ math] que haya elegido para las condiciones de contorno apropiadas dentro del problema a la función de valor inicial, generalmente en la forma [math] \ Phi (x, t = 0 ) = \ beta [/ math] donde [math] \ beta [/ math] es una constante, y luego toma la integral durante el intervalo de [math] x [/ math], mencionado anteriormente. Lo más probable es que obtenga una solución de dos valores diferentes para cuando [math] n [/ math] sea impar o par, y cuando [math] n = 0 [/ math].
Luego usa la FFT apropiada, seleccionada previamente correctamente para transformar el PDE. Para resolver estas integrales, utiliza el conocimiento de las condiciones de contorno y la condición de valor inicial transformada para llegar a una ecuación diferencial ordinaria con constantes resueltas. (Estas integrales se vuelven difíciles de manejar, ya que a menudo requieren el método de Integración por partes dos veces; sin embargo, cuando se hace esto, muchas de las condiciones de contorno se pueden conectar a la evaluación de las integrales y muchas cosas se cancelarán). este ODE conectando valores para [math] n [/ math] y calculando el patrón. Una vez que haya hecho eso, aplica la FFT inversa adecuada a su ODE para volver a su PDE resuelta.