Cómo resolver la ecuación diferencial [math] \ dfrac {d ^ 2w} {dx ^ 2} + \ dfrac {2} {x} \ dfrac {dw} {dx} = cw [/ math], donde [math] w = w (x)

Answer 1

* A2A *

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + \ dfrac {2} {x} \ dfrac {dy} {dx} -cy = 0 \ tag * {} [/ math]

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Considerando [math] w (x) = y (x) [/ math] por simplicidad, ahora esta Deq puede resolverse eliminando la primera derivada.

Es de la forma general [math] \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + P \ dfrac {dy} {dx} + Qy = R, [/ math] pondremos [math] y = uv [ / math] y encuentre [math] v, Q_ {1}, R_ {1} [/ math] (la derivación se puede encontrar en cualquier libro, es bastante larga, así que la evitaré)

Al comparar el DE con la forma estándar, podemos ver que [math] P = \ dfrac {2} {x}, Q = -c, R = 0, [/ math] ahora de acuerdo con la derivación de [math] v, [/ math] usaremos

[matemáticas] v = \ displaystyle {e ^ {- \ frac {1} {2} \ int P \, dx}} = \ displaystyle {e ^ {- \ frac {1} {2} \ int P \, dx }} = e ^ {\ ln \ left (\ frac {1} {x} \ right)} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] v = \ dfrac {1} {x} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] Q_ {1} = Q- \ dfrac {1} {2} \ dfrac {dP} {dx} – \ dfrac {1} {4} P ^ 2 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] Q_ {1} = – c + \ dfrac {1} {x ^ 2} – \ dfrac {1} {x ^ 2} = – c \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] R_ {1} = R. \ displaystyle {e ^ {\ frac {1} {2} \ int P \, dx}} = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces tenemos ahora

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2u} {dx ^ 2} + Q_ {1} u = R_ {1} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2u} {dx ^ 2} -cu = 0 \ implica u_ {CF} = C_ {1} e ^ {- \ sqrt {c} x} + c_ {2} e ^ {\ sqrt {c} x} \ tag * {} [/ math]

Entonces la solución final será

[matemáticas] \ boxed {y = uv = \ dfrac {1} {x} \ left (C_ {1} e ^ {- \ sqrt {c} x} + C_ {2} e ^ {\ sqrt {c} x } \ right)} \ tag * {} [/ math]