¿Hay otras funciones f y g, aparte de seno y coseno, definidas en I de modo que f ‘(x) = g (x), g’ (x) = -f (x), f (0) = 1 y g (0) = 0 para todo x en I?

Answer 1

¿Hay otras funciones f y g, aparte de seno y coseno, definidas en I de modo que f ‘(x) = g (x), g’ (x) = -f (x), f (0) = 1 y g (0) = 0 para todo x en I?

No, solo seno y coseno satisfarán este conjunto de condiciones. Tenga en cuenta que las condiciones están ligeramente equivocadas: dado que f corresponde a la función seno, deberíamos tener [math] f (0) = 0 [/ math] y [math] g (0) = 1 [/ math].

Prueba: Vamos a escribir [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas]. Luego, el resto de la información dada puede escribirse así:

• [matemáticas] y ‘= g (x) [/ matemáticas]
• [matemáticas] y ” = g ‘(x) = – y [/ matemáticas]
• [matemáticas] y (0) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y ‘(0) = 1 [/ matemáticas]

La ecuación diferencial de segundo orden [matemática] y ” = – y [/ matemática] tiene una solución general [matemática] y = A \ cos x + B \ sen x [/ matemática]. Dadas las condiciones iniciales [matemáticas] y (0) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y ‘(0) = 1 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] A = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] B = 1 [/ matemática], por lo que la solución única es [matemática] y = \ sin (x) [/ matemática], que luego da [matemática] y ‘= g (x) = \ cos (x). [/ Matemática ]

Answer 2

No. Este problema se puede restablecer como [math] f ” (x) + f (x) = 0 [/ math]. Esta es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) bien conocida y [matemática] f (x) = \ cos (x) [/ matemática] es la única solución para la cual [matemática] f (0) = 1 [/ matemática].

Así es como obtienes este resultado. Comience con [matemáticas] f ‘(x) = g (x) [/ matemáticas]. Esto significa [matemáticas] f ” (x) = g ‘(x) = – f (x) [/ matemáticas]. Entonces tenemos [math] f ” (x) + f (x) = 0 [/ math]. Esta ODE admite solo una solución proporcional a [math] e ^ {ax} [/ math] donde [math] a [/ math] es una constante que debemos tratar de determinar. Entonces tenemos [math] f ” (x) + f (x) = a ^ 2 e ^ {ax} + e ^ {ax} = (a ^ 2 + 1) e ^ {ax} = 0 [/ math ] Como [math] e ^ {ax} [/ math] siempre es positivo, debemos tener [math] a ^ 2 + 1 = 0 [/ math] o [math] a = \ pm i [/ math]. La solución a [matemática] f (x) [/ matemática] es una combinación lineal de las dos soluciones o [matemática] f (x) = A e ^ {ix} + B e ^ {- ix} [/ matemática] donde ahora debemos determinar [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] dada la condición [matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas]. Podemos expandir los exponenciales en series infinitas de modo que [matemática] e ^ {ix} = 1 + ix – x ^ 2/2 – ix ^ 3/6 + \ cdots = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ math] y [math] e ^ {- ix} = 1 – ix – x ^ 2/2 + ix ^ 3/6 + \ cdots = \ cos (x) – i \ sin (x) [/ math] . (Esto se llama Identidad de Euler.) Usando la condición [matemáticas] f (0) = 1 = (A + B) \ cos (0) + i (AB) \ sin (0) [/ matemáticas] encontramos [matemáticas ] A = B = 1/2 [/ matemática] y por lo tanto [matemática] f (x) = \ cos (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) = – [/ matemática] [matemática] \ sin (x) [/ matemáticas].

Como sucede, este resultado está muy relacionado con una de mis ecuaciones favoritas en todas las matemáticas: [matemáticas] e ^ {i \ pi} [/ matemáticas] [matemáticas] + 1 = 0 [/ matemáticas]. Enrolla prácticamente todos los conceptos básicos que uno necesita para hacer todo lo importante en ingeniería en un solo paquete ordenado.

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Editado para corregir errores tipográficos y formato matemático.

Answer 3

Mi estrategia es tratar de obtener una ecuación diferencial para f que sea equivalente a algunas de las condiciones que usted dio y luego ver si los diversos resultados que uno tiene para la dimensión del espacio de solución de tal ecuación pueden ayudarnos.

Veamos la doble derivada de f.

f ” = g ‘= – f (x)

Entonces obtenemos que f debe satisfacer la ecuación diferencial: d ^ 2 / (dx) ^ 2 + 1 = 0.

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de grado 2, por lo que tiene un espacio bidimensional de soluciones. Una base para ese espacio viene dada por {sin (x), cos (x)}. Entonces, las únicas funciones permitidas serán de la forma f (x) = a * sin (x) + b * cos (x) para los números reales a y b.

f (0) = 1 implica que b = 1 pero no da ninguna restricción a a. Así f (x) = a * sin (x) + cos (x).

Tomando la derivada de nuestra fórmula para f (x) y recordando que f ‘(x) = g (x) obtenemos:

f ‘(x) = g (x) = a * cos (x) – sin (x)

Como g (0) = 0 sabemos que a = 0.

Eso nos deja con f (x) = cos (x) y g (x) = -sin (x) para la única solución posible a sus ecuaciones.

Answer 4

Ciertamente podría haber, hay infinitas funciones, por lo que la posibilidad de más funciones con la relación que vemos entre seno y cosenos definitivamente podría existir en otras funciones.

Answer 5

No, porque, como se puede demostrar fácilmente, este IVP tiene una solución única. (El sistema ODE no lo hace, pero una vez que impone esa condición inicial, lo hace).