Tenga en cuenta que si dejamos [math] u (x) = y ‘[/ math], la ecuación diferencial se convierte en
[matemáticas] \ displaystyle x \ frac {\ mathrm du} {\ mathrm dx} + u ^ 2-u = 0 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica- \ frac {\ mathrm du} {u (u-1)} = \ frac {\ mathrm dx} {x} [/ math]
Integrando,
- ¿Hay otras funciones f y g, aparte de seno y coseno, definidas en I de modo que f ‘(x) = g (x), g’ (x) = -f (x), f (0) = 1 y g (0) = 0 para todo x en I?
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[matemáticas] \ displaystyle- \ int \ frac {\ mathrm du} {u (u-1)} = \ int \ frac {\ mathrm dx} {x} [/ math]
Una antiderivada para [matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática] es simplemente [matemática] \ ln {| x |} [/ matemática], pero la antiderivada para [matemática] \ frac {1} {u ( u-1)} [/ math] es un poco más complicado:
Para hacerlo, reescribe el
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm du} {u (u-1)} [/ math]
como
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm du} {u ^ 2 \ left (1- \ frac {1} {u} \ right)} [/ math]
Entonces deje que [math] v = – \ frac {1} {u} [/ math], y dado que [math] \ mathrm dv [/ math] debe ser [math] \ frac {\ mathrm du} {u ^ 2} [/ math], la integral se puede escribir como
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm dv} {1 + v} [/ math]
Una antiderivada de las cuales es simplemente [math] \ ln {| 1 + v |} [/ math], o [math] \ ln {\ left | 1- \ frac {1} {u} \ right |} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica C_1- \ ln {\ left | 1- \ frac {1} {u} \ right |} = \ ln {| x |} [/ math]
o al resolver para [matemáticas] u [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle u = \ frac {| x |} {| x | -A} [/ matemáticas]
donde [math] A [/ math] es una nueva constante arbitraria.
Deshaciendo nuestra sustitución original,
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ frac {| x |} {| x | -A} [/ matemáticas]
[math] \ displaystyle \ implica y = \ int \ frac {| x | \, \ mathrm dx} {| x | -A} [/ math]
Para encontrar el
[matemática] \ displaystyle \ int \ frac {| x | \, \ mathrm dx} {| x | -A} [/ math]
reescribir como
[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) \ int \ operatorname {sgn} (x) \ cdot \ frac {| x | \, \ mathrm dx} {| x | -A} [/ math]
y dejando que [math] w = | x | -A [/ math], que significa [math] \ mathrm dw = \ operatorname {sgn} (x) \ mathrm dx [/ math], la integral es
[math] \ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) \ int \ frac {w + A} {w} \ mathrm dw [/ math]
y como [math] \ frac {w + A} {w} = 1 + \ frac {A} {w} [/ math], la integral es simplemente
[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) \ left (w + A \ ln {| w |} \ right) + C_2 [/ math]
o
[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) \ left (| x | -A + A \ ln {\ Big {|} | x | -A \ Big {|}} \ right) + C_2 [/ math ]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica y = \ operatorname {sgn} (x) \ left (| x | -A + A \ ln {\ Big {|} | x | -A \ Big {|}} \ right) + C [/ matemáticas]
Como está escrito, [math] y [/ math] en general tiene una discontinuidad en [math] x = 0 [/ math]. Esto se puede eliminar reescribiendo ligeramente la función como
[math] \ operatorname {sgn} (x) \ left (| x | + A \ ln {\ Big {|} | x | -A \ Big {|}} \ right) + C [/ math]
o simplemente presentarlo como una solución más general del formulario
[matemáticas] y = \ begin {cases} xA \ ln {| x + A |} + C_- && x 0 \ end {casos} [/ matemáticas]
