[matemáticas] y = x ^ y [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {ln} (y) = y \ text {ln} (x) [/ math]
Con condiciones suficientes, [matemáticas] \ frac {d \ text {ln} (f (x))} {dx} = \ frac {d \ text {ln} (f (x))} {df (x)} \ frac {df (x)} {dx} = \ frac {f \ prime (x)} {f (x)} [/ math]
Por lo tanto, [matemáticas] \ frac {y \ prime} {y} = \ frac {y} {x} + y \ prime \ text {ln} (x) [/ math]
- ¿Qué es dy / dx?
- Cómo resolver la ecuación diferencial [math] \ dfrac {d ^ 2w} {dx ^ 2} + \ dfrac {2} {x} \ dfrac {dw} {dx} = cw [/ math], donde [math] w = w (x)
- ¿Cuáles son las ecuaciones y supuestos utilizados en el seguimiento de bolas?
- Cómo resolver [math] x \ frac {{\ mathrm d} ^ 2y} {{\ mathrm d} x ^ 2} + \ left (\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} x} \ right) ^ 2- \ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} x} = 0 [/ math]
- ¿Hay otras funciones f y g, aparte de seno y coseno, definidas en I de modo que f ‘(x) = g (x), g’ (x) = -f (x), f (0) = 1 y g (0) = 0 para todo x en I?
Con un poco de manipulación, [math] y \ prime = \ frac {\ frac {y} {x}} {\ frac {1} {y} – \ text {ln} (x)} [/ math].
Por lo tanto, [math] y \ prime = \ frac {y ^ 2} {x-xy \ text {ln} (x)} [/ math].
Ahora, este es un caso bastante trivial de diferenciación implícita. Está claro que [matemática] y [/ matemática] depende de [matemática] x [/ matemática] y viceversa, por lo que incluso si utiliza métodos que involucran múltiples variables (es decir, no cálculo de una sola variable) todavía llegará a la misma responder. Creo que otra respuesta puede haber planteado problemas con esto? Y sí, podemos aplicar la regla de la cadena ya que esencialmente tenemos una composición de funciones.
De todos modos, así es como puede resolver el problema con las derivadas parciales si no desea su solución de cálculo de variable única “típica”:
[matemática] z = f (x, y) = f (x, y (x)) [/ matemática] implica que [matemática] \ frac {dz} {dx} = \ frac {\ partial f} {\ partial x } \ frac {dx} {dx} + \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ frac {dy} {dx} [/ math]. (regla de cadena con [matemáticas] y = y (x) [/ matemáticas]).
Si [matemática] z [/ matemática] [matemática] = 0 [/ matemática], entonces [matemática] 0 = \ frac {\ partial f} {\ partial x} + \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ frac {dy} {dx} [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = – \ frac {f_x} {f_y} [/ matemáticas] (Con [matemáticas] f_x = \ frac {\ partial f} {\ partial x} [/ matemáticas] y [math] f_y = \ frac {\ partial f} {\ partial x} [/ math]).
Para aplicar esto a nuestro problema, estableceremos [matemáticas] f (x, y) = yx ^ y [/ matemáticas].
[matemáticas] f_x = -yx ^ {y-1} [/ matemáticas].
[math] f_y = 1- \ text {ln} (x) x ^ y [/ math].
[matemáticas] – \ frac {f_x} {f_y} = \ frac {yx ^ {y-1}} {1- \ text {ln} (x) x ^ y} = \ frac {\ frac {y ^ 2} {x}} {1-y \ text {ln} (x)} = \ frac {y ^ 2} {x-xy \ text {ln} (x)} [/ math].
Por lo tanto, [matemática] \ frac {dy} {dx} = \ frac {y ^ 2} {x-xy \ text {ln} (x)} [/ math].
Entonces obtienes la misma respuesta sin importar desde qué ángulo lo ataques, pero por supuesto, la primera forma está perfectamente bien.
