Si d / dx es en sí mismo un operador único, entonces ¿por qué es correcto separar dy y dx de dy / dx mientras se resuelven ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Esa es una excelente pregunta !

Básicamente, la pregunta que estamos tratando de responder aquí es, si [math] \ frac {d} {dx} [/ math] es un operador, entonces ¿por qué se nos permite tratar [math] \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas] como una fracción?

Comenzamos estableciendo el hecho de que en un cálculo típico [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] NO es una fracción sino un límite. La razón por la cual se comporta como una fracción de alguna manera es puramente el resultado de la regla de la cadena.

Básicamente derivada es un límite de fracciones y resulta que este límite coopera de manera agradable y amigable con la mezcla y combinación de otras fracciones límite o derivado (alias).

Agregaré una explicación matemática en la próxima edición. (lo antes posible)

EDITAR 1:

[matemáticas] \ lim _ {{\ Delta} x \ a 0} \ frac {{\ Delta} u} {{\ Delta} x} = (\ lim _ {{\ Delta} y \ to 0} \ frac {{\ Delta} u} {{\ Delta} y}) (\ lim _ {{\ Delta} x \ a 0} \ frac {{\ Delta} y} {{\ Delta} x}) [/ math]

Para resumir,

Tiene sentido que pueda cancelar los términos Δy como en una fracción, suponiendo que todo se porta bien.

Answer 2

dy es el cambio en y.

dx es el cambio en x.

La derivada, en su esencia, es el valor dy / dx se acerca a medida que dx se acerca a 0.

Pero siempre debe recordar que dy y dx no se mezclan para formar un único objeto matemático concreto llamado derivada, sino que están separados. Son valores reales, valores que tienden a 0. Pero siguen siendo valores concretos.

Por lo tanto, podemos separar dy y dx, está en la definición misma.

Mira el canal 3Blue1Brown en YouTube. Es realmente ingenioso.