¿Existen ecuaciones integrales (o antidiferenciales) similares a las ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Sí, hay ecuaciones integrales. Mi tesis fue sobre ecuaciones integrales.

Las ecuaciones integrales tienen algunas ventajas y desventajas. Son excelentes en medios homogéneos e isotrópicos (cosas que son uniformes en todas partes y se ven iguales en todas las direcciones). En este caso, podemos reducir la dimensión de un problema en uno. Esto significa que si estamos resolviendo un PDE en 2d, podemos convertirlo como una ecuación integral que solo requiere evaluar integrales 1d. Del mismo modo para 3d. También son excelentes para simular física alrededor de obstáculos en el espacio libre, es decir, simplemente flotando en un dominio ilimitado. Imagina que quiero simular una onda de sonido delimitando una esfera. Si quiero resolver esto con una herramienta como elementos finitos, necesito discretizar la superficie de la esfera, así como todo el espacio alrededor de la esfera donde quiero ver el sonido rebotando. Pero con una ecuación integral, solo necesito discretizar la superficie de la esfera, ¡y puedo calcular simplemente la dispersión resultante en el resto del espacio! En comparación con los elementos finitos, tendrías que engranar un dominio más grande para ver más dispersión: no tienes que hacer esto con métodos de ecuaciones integrales. Además, si no tuvo cuidado con la aproximación de su elemento finito, podría obtener ecos falsos donde la onda interactúa con el borde del “cuadro de visualización” donde está mirando la dispersión. Esto se puede manejar con herramientas especiales llamadas capas perfectamente combinadas, pero solo funcionan para configuraciones muy agradables, y no en general. Las ecuaciones integrales no ven el “cuadro de visualización”. Simplemente dice “Quiero ver la dispersión de la onda de sonido aquí”, y lo tiene sin ningún trabajo adicional.

Para resolver ecuaciones integrales, hay cosas como teoremas de Fredholm, métodos de punto fijo, métodos de elementos de límite y métodos de Nystrom.

Answer 2

Una de esas ecuaciones en mi mente es la ecuación integral de Volterra. [1] Un método utilizado para resolver esto es mediante la Transformada de Laplace, ya que puede transformar fácilmente las antiderivadas de funciones (así como sus derivadas), en una ecuación algebraica que es más fácil de resolver.

Notas al pie

[1] Ecuación integral de Volterra – Wikipedia

Answer 3

Si.

Es una cuestión de forma. Si tiene una ecuación diferencial, también podría escribirla como una ecuación integral. Y viceversa.

Algunas ecuaciones son más fáciles de intuir cuando se escriben de una forma que de otra.