La solución general a la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden
[matemáticas] \ displaystyle x (1-x) y_ {2x} + \ bigr \ {\ gamma – (\ alpha + \ beta + 1) x \ bigr \} y_x- \ alpha \ beta y = 0 \ tag * {} [/matemáticas]
es dado por
[matemáticas] \ displaystyle y = A \ space F (\ alpha, \ beta; \ gamma; x) + Bx ^ {\ gamma-1} F (1- \ gamma + \ alpha, 1- \ gamma + \ beta; 2- \ gamma; x) \ tag * {} [/ math]
- ¿Qué es la frecuencia natural no amortiguada y cómo puedo encontrarla en esta ecuación 2d ^ 2y / dt ^ 2 + 4 dy / dt + 8y = 8x?
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donde [matemática] A, B [/ matemática] son constantes y [matemática] F (\ alpha, \ beta; \ gamma; x) [/ matemática] es la secuencia hipergeométrica estándar.
[matemáticas] \ displaystyle F (\ alpha, \ beta; \ gamma; x) = 1 + \ frac {\ alpha \ beta} {1 \ cdot \ gamma} x + \ frac {\ alpha (\ alpha + 1) \ beta (\ beta + 1)} {1 \ cdot2 \ cdot \ gamma (\ gamma + 1)} x ^ 2 + \ ldots \ tag * {} [/ math]
Prueba: la prueba es bastante sencilla. Comenzando con la ecuación diferencial, suponga que [math] y [/ math] es la suma de una serie infinita, y tome la derivada dos veces.
[matemáticas] \ displaystyle y = \ sum \ limits_ {m \ geq0} c_m x ^ {k + m} \ qquad y_x = \ sum \ limits_ {m \ geq0} c_m (k + m) x ^ {k + m- 1} \ qquad y_ {2x} = \ sum \ limits_ {m \ geq0} c_m (k + m) (k + m-1) x ^ {k + m-2} \ tag * {} [/ math]
Al reunir los términos y coeficientes juntos, nuestra ecuación diferencial se simplifica enormemente en
[matemáticas] \ displaystyle \ sum \ limits_ {m \ geq0} c_m (k + m) (k + m + \ gamma-1) x ^ {k + m-1} – \ sum \ limits_ {m \ geq0} c_m k + m + \ alpha) (k + m + \ beta) x ^ {k + m} = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]
El término con la potencia más pequeña es [matemática] x ^ {k-1} [/ matemática], y su coeficiente es [matemática] c_mk (k + \ gamma-1) [/ matemática]. Ajustándolos a cero, vemos que [matemática] k = 0 [/ matemática] o [matemática] k = 1- \ gamma [/ matemática].
Cuando [math] k = 0 [/ math], obtenemos la relación de recurrencia
[matemáticas] \ displaystyle c_m = \ frac {(k + \ alpha + m-1) (k + \ beta + m-1)} {(k + m) (k + m + \ gamma-1)} c_ {m-1 } \ tag * {} [/ math]
Y cuando [math] k = 1- \ gamma [/ math], obtenemos la relación
[matemáticas] \ displaystyle c_m = \ frac {(1- \ gamma + \ alpha + m-1) (1- \ gamma + \ beta + m-1)} {(1- \ gamma + m) (1- \ gamma + m + \ gamma-1)} c_ {m-1} \ tag * {} [/ math]
Comenzando con [math] m = 1 [/ math] y sumando al infinito, vemos la solución general como
[matemáticas] \ displaystyle y = A \ space F (a, b; c; x) + B x ^ {\ gamma-1} F (1- \ gamma + \ alpha, 1- \ gamma + \ beta; 2- \ gamma ; x) \ tag * {} [/ math]