Cómo determinar si una ecuación diferencial de primer orden es lineal o no lineal

Answer 1

Bastante simple.

Una ecuación diferencial es lineal (* any * ecuación diferencial) si y solo si puede escribirse en la forma

[matemáticas] \ suma \ límites_ {a = 0} ^ {n} g (t) _af (t) ^ {(a)} = h (t) [/ matemáticas]

Qué significa eso? Bueno, básicamente significa que ni [math] f [/ math] ni ninguna de sus derivadas pueden tener una potencia o multiplicarse por ninguna otra derivada de [math] f [/ math], o el argumento de algo como un coseno … etc., sin embargo, sus coeficientes pueden ser * cualquier * función de [math] t [/ math].

Algunos ejemplos…

Las siguientes son todas las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

[matemáticas] y ” + y’-y = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2t ^ 2y ‘- \ sin {(20t)} y = \ cos {(t)} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ” – e ^ ty = \ frac {\ tan {(t ^ 3)}} {t ^ 2} [/ matemáticas]

Las siguientes son todas las ecuaciones diferenciales ordinarias * no lineales *

[matemáticas] y”y ‘- \ cos {(y)} = 30t [/ matemáticas]

[matemáticas] (y ‘) ^ 2-y = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ t (y + y ‘) ^ 2 = \ sin {(t)} [/ matemáticas]

Espero que puedas ver la idea. Si parece que algo funky está sucediendo con [math] f [/ math] o cualquiera de sus derivados, probablemente no sea lineal.

A lo que se refiere la clasificación es que cada término debe ser lineal con respecto a [math] f [/ math] y sus derivados. Entonces, si comprende lo que significa “lineal con respecto a”, ya sabe exactamente lo que eso significa sin los ejemplos anteriores y tal.

Answer 2

Gracias por el A2A.

Si una ecuación es una ecuación diferencial de primer orden, solo habrá un término de primera derivada. (No pueden estar presentes derivados de orden superior).

Para que la ecuación sea lineal en términos de derivadas , no puede multiplicar los términos derivados por ningún otro término derivado.

Dicha ecuación será de la forma general:

[matemáticas] y ‘(x) + y (x) = f (x) [/ matemáticas]

Por ejemplo:

[matemáticas] y (x) ‘= cos (x) [/ matemáticas]

Es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Sin embargo, por ejemplo:

[matemáticas] y (x) y (x) ‘= cos (x) [/ matemáticas]

es una ecuación diferencial no lineal. Tenga en cuenta que [math] y ‘[/ math] se multiplica por otro término [math] y [/ math]. Esta es la no linealidad. La ecuación no es una suma de términos simples, derivados simples. Aquí, tiene derivados ‘mixtos’ de diferentes órdenes juntos.

Sin embargo,

[matemáticas] x \, y (x) ‘= cos (x) [/ matemáticas]

es una ecuación diferencial lineal, ya que puede reescribir de tal manera que:

[matemáticas] y ‘(x) = f (x) = cos (x) / x [/ matemáticas]