¿Es la integración la operación más utilizada al resolver ecuaciones diferenciales? Si no, ¿cuál es?

Answer 1

No hay una sola forma de resolver ecuaciones diferenciales. Se pueden separar variables en algunas ecuaciones diferenciales ordinarias y obtener una solución a través de la integración directa. Otras ODE se pueden resolver utilizando factores integradores. Estas técnicas funcionan con mayor frecuencia con EDO de primer orden. Para las EDO de orden superior, es probable que estas dos técnicas no sean útiles. Hay ODE de segundo orden que tienen soluciones exponenciales o trigonométricas. Hay otros cuyas soluciones son funciones trascendentales, un ejemplo de las cuales es la función de Bessel que surge en problemas donde el área aumenta linealmente con la distancia, o funciones esféricas de Bessel en problemas donde el área aumenta con el cuadrado de la distancia. Incluso las EDO de orden superior tienen otras funciones trascendentales menos conocidas como soluciones, como la función Airy para algunos tipos de EDO de tercer orden.

Una forma de volver a usar la integración para resolver un ODE es usar un método de transformación integral para cambiar el ODE a una ecuación algebraica. La solución al ODE se puede obtener mediante la integración de la solución transorm-space. Desafortunadamente, la técnica de inversión de transformación por integración no se enseña en muchos cursos de matemáticas de pregrado.

Las ecuaciones diferenciales parciales a veces se pueden convertir a EDO utilizando transformaciones integrales. El ODE se resuelve para una solución en el espacio de transformación. Luego, la inversión por integración da la solución al PDE. Si un PDE no es lineal, es menos probable que esta técnica funcione. Hay casos especiales en los que se conocen soluciones exactas para PDE, pero con mayor frecuencia, las PDE no lineales deben resolverse numéricamente.

Answer 2

La respuesta corta es no.

La integración se usa principalmente en formas elementales de ODE y PDE … en ejemplos escolares para varios procedimientos elementales …

Para ecuaciones arbitrarias también usaría información de la teoría cualitativa, del análisis funcional, del análisis no suave, del análisis numérico.

En términos generales, es un error suponer que se puede resolver una ecuación diferencial (es decir, … integrada). Lo más probable es que pueda estudiarse y tal vez resolverse numéricamente … pero todas las alternativas deben considerarse incompletas, por lo que todas son valiosas.