Si [math] y (x) [/ math] es la solución de la ecuación diferencial [math] x \ ln x \ dfrac {dy} {dx} + y = 2x \ ln x [/ math], entonces cuál es el valor de [matemáticas] y (e) [/ matemáticas]?

Answer 1

Gracias por el A2A Divyansh Tripathi 🙂

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} x \ ln x \ dfrac {dy} {dx} + y = 2x \ ln x \ end {split} \ end {equation} \ tag * {} [/ math ]

Para comenzar, dividamos tanto el LHS como el RHS de la ecuación entre [math] x \ ln x [/ math]

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ dfrac {dy} {dx} + \ dfrac {y} {x \ ln x} = 2 \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/matemáticas]

¡Mirar de cerca! Esta es una ecuación diferencial ordinaria del siguiente tipo …

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[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ dfrac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math ]

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Para esta pregunta, tenemos [matemáticas] P (x) = \ dfrac {1} {x \ ln x} [/ matemáticas]

Y, por supuesto, [matemáticas] Q (x) = 2 [/ matemáticas]

Y si has asistido a la escuela secundaria, entonces esta es una pregunta bastante directa. Nada sofisticado.

Así que ahora procedemos a encontrar el llamado factor integrador [math] (IF) [/ math]

[matemáticas] IF = e ^ {\ int \ frac {1} {x \ ln x} \, dx} [/ matemáticas]

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Cambiemos nuestro enfoque por un momento a esa integral que tenemos en el exponente …

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x \ ln x} \, dx [/ matemáticas]

Para manipular esto, voy a dejar que [math] \ ln x = t [/ math]

Tomando derivados de ambos lados …

[matemáticas] \ dfrac {1} {x} dx = dt [/ matemáticas]

Entonces la Integral ahora se convierte en …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x \ ln x} \, dx & = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {t} \, dt \\ & = \ ln t \\ & = \ ln (\ ln x) \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

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Vuelva a conectarlo a nuestra pequeña expresión para el factor integrador …

[matemáticas] IF = e ^ {\ ln (\ ln x)} [/ matemáticas]

Usando algunas propiedades de exponentes y logaritmos, podemos escribirlo de esta manera …

[matemáticas] \ implica IF = \ ln x [/ matemáticas]

También sabemos que la solución estándar para este tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias es …

[matemáticas] y (SI) = \ displaystyle \ int \ (SI) Q (x) \, dx [/ matemáticas]

Todo lo que queda es simplemente conectar los valores. ¡Vamos a hacerlo!

[matemáticas] y \ ln x = \ displaystyle \ int 2 \ ln x \, dx [/ math]

Solo voy a Integrar por partes para resolver el RHS

[matemáticas] y \ ln x = 2x \ ln x – 2x + C [/ matemáticas]

[matemática] \ implica y [/ matemática] [matemática] = 2x- \ dfrac {2x} {\ ln x} + \ dfrac {C} {\ ln x} [/ matemática]

Ahí lo tenemos! ¡La solución general de nuestra ecuación diferencial!

Nota: para [matemática] x = 1 [/ matemática] no estará definida, por lo que la condición debe ser [matemática] x> 1 [/ matemática]

Answer 2

Divide ambos lados entre [matemáticas] x \ ln x [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {dx} + \ frac {y} {x \ ln x} = 2 [/ matemáticas]

entonces tenemos [math] \ displaystyle p (x) = \ frac {1} {x \ ln x} [/ math], [math] q (x) = 2 [/ math] y [math] \ displaystyle \ text {IF} = {e} ^ {{\ large \ int} {\ frac {1} {x \ ln x}} dx} = \ ln x [/ math],

y la solución será de la forma [math] \ displaystyle y (\ text {IF}) = \ int (q (x) \ text {IF}) dx + c. [/ math]

entonces tenemos

[matemáticas] \ displaystyle y \ ln x = \ int (2 \ ln x) dx + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica y \ ln x = 2x \ ln x – 2x + c [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ implica y (x) = 2x – \ frac {2x} {\ ln x} + c_1 [/ math]

oh, pero no podemos hacer nada de eso según los detalles de la pregunta, así que no sé cómo resolverlo.