En la inspección, esperaríamos que una solución sea un polinomio cuadrático. Si suponemos que [math] y = ax ^ 2 + bx + c, [/ math] entonces [math] y ‘= 2ax + b [/ math] y [math] y’ ‘= 2a [/ math], en sustitución encontramos que
[matemáticas] (1 + x ^ 2) (2a) -4x (2ax + b) +6 (ax ^ 2 + bx + c) = 0 [/ matemáticas]
Combinando términos similares, encontramos que
[matemáticas] 0x ^ 2 + 2bx + (2a + 6c) = 0 [/ matemáticas]
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entonces b = 0 y a = -3c. Por lo tanto, una solución para el ODE es [matemáticas] y_1 = 3x ^ 2 – 1. [/ Matemáticas]
Ahora supongamos que hay una segunda solución de la forma [math] y = y_1 \ cdot f (x) = (3x ^ 2-1) f (x). [/ Math]
Para esta segunda solución, tenemos [matemáticas] y ‘= 6x f (x) + 3x ^ 2 f’ (x) – f ‘(x), e y’ ‘= 6 f (x) + 12 x f’ ( x) + 3x ^ 2 f ” (x) – f ” (x) [/ matemáticas]. Sustituir en el ODE nos dice que
[matemáticas] (1 + x ^ 2) (6f (x) + 12x f ‘(x)) -4x (6x f (x)) = 0 [/ matemáticas]
lo que nos da
[matemáticas] (12x ^ 3 + 12x) f ‘(x) + (-18x ^ 2 + 6) f (x) = 0 [/ matemáticas]
Esta es una ecuación separable, y podemos resolver eso para f (x), y así encontrar una segunda solución para el ODE. Si las dos soluciones son linealmente independientes, entonces la solución general es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las dos.
Tenemos
[matemáticas] \ frac {f ‘(x)} {f (x)} = \ frac {3x ^ 2-1} {2x (x ^ 2 + 1)} [/ matemáticas]
La antiderivada del lado izquierdo es [matemáticas] \ ln | f (x) |. [/ math] Para integrar el derecho, podemos usar la descomposición de fracción parcial. Configurando la ecuación
[matemáticas] \ frac {3x ^ 2-1} {2x (x ^ 2 + 1)} = \ frac {A} {2x} + \ frac {Bx + C} {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]
entonces limpiar fracciones nos da
[matemáticas] 3x ^ 2-1 = A (x ^ 2 + 1) + (Bx + C) (2x) = (A + 2B) x ^ 2 + 2Cx + A [/ matemáticas]
Entonces vemos que [matemáticas] A = -1, C = 0, B = 2 [/ matemáticas].
Así
[matemáticas] \ ln | f (x) | = \ int \ frac {-1} {2x} + \ frac {2x} {x ^ 2 + 1} dx = \ frac {-1} {2} \ ln (x) + \ ln (x ^ 2 + 1 )[/matemáticas]
lo que implica que [matemáticas] f (x) = \ frac {x ^ 2 + 1} {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]. Por lo tanto, la segunda solución para el ODE será
[matemáticas] y_2 = (3x ^ 2-1) f (x) = \ frac {(3x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1)} {\ sqrt {x}} [/ matemáticas]
y la solución general es
[matemáticas] y = C_1 y_1 + C_2 y_2 [/ matemáticas]