Cómo encontrar la transformación de Laplace de [math] \ sqrt {t} e ^ {3t} [/ math]

Answer 1

Es importante tener en cuenta que [math] \ displaystyle [/ math] [math] \ mathcal {L} (t ^ n) = \ large {\ frac {n!} {S ^ {n + 1}}} [/ matemáticas] solo cuando [matemáticas] n = 0,1,2,3… [/ matemáticas]

En este caso, [matemáticas] n = 1/2 [/ matemáticas], por lo tanto, usamos:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} (t ^ n) = \ frac {\ Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}} [/ math]

Además, recuerde algunas propiedades de la función gamma:

• [matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (n + 1) = n \ Gamma (n) [/ matemáticas]
• [math] \ displaystyle \ Gamma (1/2) = \ sqrt {\ pi} [/ math] (puede probarse usando la integral gaussiana)

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ mathcal {L} (\ sqrt {t}) = \ frac {\ Gamma (3/2)} {s ^ {\ frac {3} {2}}} = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ frac {1} {s ^ {\ frac {3} {2}}} [/ math]

Al cambiar la propiedad, tenemos [math] \ displaystyle \ mathcal {L} (e ^ {3t} \ sqrt {t}) = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} \ frac {1} {(s -3) ^ {\ frac {3} {2}}} [/ matemáticas]

Answer 2

Aquí está la prueba de la propiedad que Aadit Pandey mencionó

Tomemos [math] f (t) = t ^ {n} [/ math] por lo que su transformación de Laplace será

[matemáticas] \ matemáticas {L} [f (t)] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} t ^ {n} dt [/ matemáticas]

Reemplace [math] st = u [/ math], entonces tendremos

[matemáticas] \ matemáticas {L} [f (t)] = \ dfrac {1} {s ^ {n + 1}} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} u ^ { n} du = \ dfrac {\ Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}} [/ math]

Y aquí hay otra forma de probar [matemáticas] \ Gamma (1/2) = \ sqrt {\ pi} [/ matemáticas] sin usar gaussiano

Uso: – [math] \ Gamma (1-z). \ Gamma (z) = \ dfrac {\ pi} {\ sin (\ pi z)} [/ math]

ponga [matemáticas] z = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas], obtendrá

[matemáticas] \ Gamma ^ {2} (1/2) = \ pi \ implica \ Gamma (1/2) = \ sqrt {\ pi} [/ matemáticas]

Ahora solo cambie la señal transformada por una unidad como lo hizo Aadit

Answer 3

Dado que……

[matemáticas] f (x) = \ sqrt (x) .e ^ {3t} [/ matemáticas]

La ‘transformación de Laplace’ requerida de f (x) es

[matemáticas] L [f (x)] = \ overline {f (S)} = \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- Sx} f (x) dx = \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- Sx}. \ Sqrt {t} e ^ {3x} dx = \ dfrac {\ Gamma (\ dfrac {3} {2})} {(S-3) ^ {\ dfrac {3} {2}}} = \ dfrac {\ dfrac {1} {2} \ Gamma (\ dfrac {1} {2})} {(S-3) ^ {\ dfrac {3} {2}}} = \ dfrac {\ sqrt {π }} {2 (S-3) ^ {\ dfrac {3} {2}}}, Re (S) \ gt 0 [/ math]

El problema ya está hecho.