Cómo encontrar la solución general de la ecuación [matemáticas] ((y ^ 2) (e ^ x) (2x + 1) + y) \ mathrm {d} x + (2xy (e ^ x) +1) \ mathrm { d} y = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] [y ^ 2e ^ x (2x + 1) + y] dx + [2xye ^ x + 1] dy = 0 [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Multiplica la ecuación con [math] e ^ x [/ math]: –

[matemáticas] \ implica [y ^ 2e ^ {2x} (2x + 1) + ye ^ x] dx + [2xye ^ {2x} + e ^ x] dy = 0 [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Ahora verifique la exactitud : –

[matemáticas] \ dfrac {\ partial} {\ partial y} [y ^ 2e ^ {2x} (2x + 1) + ye ^ x] = 4xye ^ {2x} + 2ye ^ {2x} + e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ partial} {\ partial x} [2xye ^ {2x} + e ^ x] = 4xye ^ {2x} + 2ye ^ {2x} + e ^ x [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Por lo tanto, es exacto . Supongamos que la solución de la ecuación es [matemática] f (x, y) = k [/ matemática], y [matemática] f (x, y) [/ matemática] estará dada por: –

[matemáticas] \ implica f (x, y) = \ displaystyle \ int \ left [\ dfrac {\ partial f (x, y)} {\ partial y} \ right] \, dy + F (x) [/ math ]

[matemáticas] \ implica f (x, y) = \ displaystyle \ int [2xye ^ {2x} + e ^ x] \, dy + F (x) [/ math]

[matemáticas] \ implica f (x, y) = xy ^ 2e ^ {2x} + ye ^ x + F (x) [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Diferenciando ambos lados con respecto a x : –

[matemática] \ implica \ dfrac {\ parcial f (x, y)} {\ parcial x} = y ^ 2e ^ {2x} (2x + 1) + ye ^ x + F ‘(x) [/ matemática]

[matemáticas] \ implica y ^ 2e ^ {2x} (2x + 1) + ye ^ x = y ^ 2e ^ {2x} (2x + 1) + ye ^ x + F ‘(x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica F ‘(x) = 0 [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {F (x) = Constant} [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Entonces, nuestra solución es: –

[math] \ implica \ boxed {xy ^ 2e ^ {2x} + ye ^ x = k} \, \, \, \, \, [k = Constant] [/ math]

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