Dado que es una PDE hiperbólica, use el método de características.
Tenemos,
[matemáticas] \ displaystyle u_ {tt} + u_ {tx} -2u_ {xx} = t [/ matemáticas]
La condición característica para este PDE es: [matemática] \ displaystyle [/ matemática] [matemática] m_ {t} ^ 2 + m_ {t} {x} – 2m_ {x} ^ 2 = 0 [/ matemática]
- ¿Existen ecuaciones integrales (o antidiferenciales) similares a las ecuaciones diferenciales?
- Cómo encontrar la solución general a esta ecuación
- En el mapeo 6-DOF, ¿cuántas ecuaciones resuelves?
- Cómo encontrar la transformación de Laplace de [math] \ sqrt {t} e ^ {3t} [/ math]
- ¿Es la integración la operación más utilizada al resolver ecuaciones diferenciales? Si no, ¿cuál es?
Factorizando obtenemos, [math] \ displaystyle (m_ {t} + 2m_ {x}) (m_ {t} -m_ {x}) = 0 [/ math] así que:
[matemáticas] \ displaystyle m_ {t} -m_ {x} = 0 \ implica \ dfrac {dt} {1} = \ dfrac {dx} {- 1} = \ dfrac {dm} {0} [/ math] entonces que [matemáticas] x_ {1} = k_ {1} – t [/ matemáticas] y [matemáticas] m = P (x + t) [/ matemáticas] o
[matemáticas] \ displaystyle m_ {t} + 2m_ {x} = 0 \ implica \ dfrac {dt} {1} = \ dfrac {dx} {2} = \ dfrac {dm} {0} [/ math] para que [matemáticas] x = k_ {2} + 2t [/ matemáticas] y [matemáticas] m = Q (x-2t) [/ matemáticas]
Elegimos nuestras características como: [matemáticas] \ xi = x + t, \ psi = x – 2t [/ matemáticas] para transformar [matemáticas] \ displaystyle u (t, x) = U (\ xi, \ psi) \ implica \ beta U _ {\ xi \ psi} = F [/ math] donde,
[matemáticas] \ displaystyle \ beta = (2 \ xi_ {t} \ psi_ {t}) + (\ xi_ {t} \ psi_ {x}) – 2 (2 \ xi_ {x} \ psi_ {x}) [ /matemáticas]
Sustituyendo valores apropiados (tomando derivadas parciales de [math] \ xi [/ math] y [math] \ psi) [/ math] obtenemos [math] \ beta = -9 [/ math].
[matemáticas] \ displaystyle F = t – (ξ_ {tt} + ξ_ {tx} – 2ξ_ {xx}) U_ {ξ} – (\ psi_ {tt} + \ psi_ {tx} – 2 \ psi_ {xx}) U _ {\ psi} = t = \ dfrac {1} {3} (ξ – \ psi) [/ math]
Por lo tanto, [matemática] \ displaystyle −9U_ {ξ \ psi} = \ dfrac {1} {3} (ξ – \ psi) \ implica U_ {ξ \ psi} = \ dfrac {1} {27} (\ psi – ξ )[/matemáticas]
La integración de wrt ξ da [matemáticas] \ displaystyle U _ {\ psi} = B ‘(\ psi) + \ dfrac {1} {27} (\ psiξ – \ frac {1} {2} ξ ^ 2) [/ matemáticas] , y wrt [math] \ psi [/ math] da [math] \ displaystyle U = A (ξ) + B (\ psi) + \ dfrac {1} {27} \ left (\ frac {1} {2} \ psi ^ 2ξ – \ frac {1} {2} \ psi \ xi ^ 2 \ right) [/ math]
Sustituyendo [math] \ xi [/ math] y [math] \ psi [/ math] atrás obtenemos nuestra solución general como,
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ boxed {u (t, x) = A (x + t) + B (x – 2t) – \ dfrac {(x – 2t) (xt + t ^ 2)} {18} }[/matemáticas]