Cómo encontrar la solución general a esta ecuación

Answer 1

Sustituye [matemáticas] \ frac {y} {x} = u [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d (ux)} {dx} = \ frac {2x + ux} {2ux-x} [/ matemáticas]

Usando Chain Rule en LHS y simplificando tenemos,

[matemáticas] u + x \ frac {du} {dx} = \ frac {2 + u} {2u-1} [/ matemáticas]

Separando las variables que obtendremos,

[matemáticas] \ frac {2u-1} {2 (1 + uu ^ 2)} du = \ frac {dx} {x} [/ matemáticas]

Integrando ambos lados,

[matemáticas] \ frac {-1} {2} \ int \ frac {2u-1} {u ^ 2-u-1} du = ln (x) [/ matemáticas]

En el LHS, un numerador suficientemente claro es la derivada del denominador, por lo tanto, con la integración obtenemos

[matemáticas] \ frac {-1} {2} ln (u ^ 2-u-1) = ln (x) + C [/ matemáticas]

Al deshacer la sustitución realizada anteriormente y un poco de simplificación, no sería muy difícil obtener la respuesta requerida.

[matemáticas] y ^ 2 – yx – x ^ 2 = k [/ matemáticas]

donde k es una constante arbitraria.

Answer 2

Para abordar esto de una manera diferente a los demás:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {2x + y} {2y – x} [/ matemáticas]

[matemáticas] (2y – x) \, \ textrm {dy} = (2x + y) \, \ textrm {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int (2y – x) \, \ textrm {dy} = \ int (2x + y) \, \ textrm {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int 2y \, \ textrm {dy} – \ int x \, \ textrm {dy} = \ int 2x \, \ textrm {dx} + \ int y \, \ textrm {dx} [/ math]

[matemáticas] y ^ 2 – \ int x \, \ textrm {dy} = x ^ 2 + \ int y \, \ textrm {dx} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 – x ^ 2 = \ int y \, \ textrm {dx} + \ int x \, \ textrm {dy} + c [/ math]

El lado derecho es igual a [matemáticas] xy [/ matemáticas]. Imagine un gráfico: el área [matemáticas] \ int y \, \ textrm {dx} [/ matemáticas] es el área entre la línea y el eje [matemáticas] x [/ matemáticas], el área [matemáticas] \ int x \ , \ textrm {dy} [/ math] es el área entre la línea y el eje [math] y [/ math], por lo que el área total es el rectángulo [math] xy [/ math]. No me creas Intentemos resolver [math] \ int x \, \ textrm {dy} [/ math] por partes:

[matemáticas] \ int (1 \ cdot x) \, \ textrm {dy} = xy – \ int (y \ cdot \ frac {dx} {dy}) \, \ textrm {dy} [/ math]

[matemáticas] \ int x \, \ textrm {dy} = xy – \ int y \, \ textrm {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] xy = \ int x \, \ textrm {dy} + \ int y \, \ textrm {dx} [/ matemáticas]

Con ese poco de información detrás de nosotros, continuemos:

[matemáticas] y ^ 2 – x ^ 2 = xy + c [/ matemáticas]

Answer 3

Reorganícelo como [matemáticas] (2x + y) dx + (x-2y) dy = 0 [/ matemáticas]

Esto es de Mdx + Ndy = 0 [matemática] \ dfrac {\ partial M} {\ partial y} = 1 [/ matemática] y [matemática] \ dfrac {\ parcial N} {\ parcial x} = 1 [/ matemática ] Por lo tanto, es exactamente integral.

[matemáticas] \ displaystyle \ int (2x + y) dx + \ int (–2y) dy = C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {\ boxed {x ^ 2 + xy-y ^ 2 = C}} [/ math]

Answer 4