* A2A
[matemáticas] \ text {Dado que …} \\\ dfrac 1 {(1-xy) ^ 2} \ mathrm {dx} + \ left [y ^ 2 + \ dfrac {x ^ 2} {(1-xy) ^ 2} \ right] \ mathrm {dy} = 0 \\\ text {Let} M (x, y) = \ dfrac1 {(1-xy) ^ 2}, N (x, y) = y ^ 2 + \ dfrac {x ^ 2} {(1-xy) ^ 2} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {\ partial M} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial} {\ partial y} (1-xy) ^ {- 2} = – 2 (1-xy) ^ {- 3} (-x) = \ boxed {\ dfrac {2x} {(1-xy) ^ 3}} \\\ begin {ecation} \ begin {split} \ dfrac {\ partial N} {\ partial x} & = \ dfrac {\ partial} {\ partial x} \ left [y ^ 2 + \ dfrac {x ^ 2} {(1-xy) ^ 2} \ right] \\ & = \ dfrac {\ partial} {\ partial x } x ^ 2 (1-xy) ^ {- 2} \\ & = x ^ 2 \ dfrac {\ partial} {\ partial x} (1-xy) ^ {- 2} + (1-xy) ^ { -2} \ dfrac {\ partial} {\ partial x} (x ^ 2) \\ & = – 2x ^ 2 (1-xy) ^ {- 3} (- y) + 2x (1-xy) ^ { -2} \\ & = \ dfrac {2x ^ 2y} {(1-xy) ^ 3} + \ dfrac {2x} {(1-xy) ^ 2} \\ & = \ dfrac {2x ^ 2y + 2x (1-xy)} {(1-xy) ^ 3} \\ & = \ boxed {\ dfrac {2x} {(1-xy) ^ 3}} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {}[/matemáticas]
Como [math] \ dfrac {\ partial M} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial N} {\ partial x} [/ math], por lo tanto, esta ecuación es exacta.
- ¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales?
- Cómo resolver la ecuación diferencial [matemática] \ izquierda [\ izquierda (D ^ 2 + 2D + 5 \ derecha) ^ 2 \ derecha] y = xe ^ {- x} \ cos2x [/ matemática]
- Cómo resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria
- ¿Existe un método / procedimiento general para encontrar la solución de algún tipo de ecuación diferencial?
- Cómo encontrar la solución general de [matemáticas] y (1+ \ sqrt {x ^ 2y ^ 4 +1}) dx + 2x \, dy = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} F (x, y) & = \ int M (x, y) \, \ mathrm {dx} \\ & = \ int \ dfrac1 {(1-xy) ^ 2} \, \ mathrm {dx} \\\ text {Let} u = (1-xy) & \ implica \ mathrm {du} = – y \, \ mathrm {dx} \ implica \ mathrm {dx} = – \ dfrac1y \ mathrm {du} \\ & = – \ dfrac1y \ int \ dfrac {\ mathrm {du}} {u ^ 2} \\ & = \ dfrac 1 {uy} + g (y) \\ & = \ dfrac1 {y (1-xy)} + g (y) \\ & = \ dfrac1 {y-xy ^ 2} + g (y) \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ matemáticas]
Tomando la derivada parcial de [matemáticas] F (x, y) [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] y [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} N (x, y) & = \ dfrac {\ partial F} {\ partial y} \\ & = \ dfrac {\ partial} {\ partial y} \ left [(y-xy ^ 2) ^ {- 1} + g (y) \ right] \\ & = – (y-xy ^ 2) ^ {- 2} (1-2xy) + g ‘(y) \ \ & = \ dfrac {2xy-1} {y ^ 2 (1-xy) ^ 2} + g ‘(y) \\\ text {Si expande} (1-xy) ^ 2 \ text {y juegue un pequeño,} & \ text {puedes dividir la fracción en el lado derecho} \\ & = \ dfrac {x ^ 2y ^ 2- (1-xy) ^ 2} {y ^ 2 (1-xy) ^ 2 } + g ‘(y) \\ y ^ 2 + \ dfrac {x ^ 2} {(1-xy) ^ 2} & = \ dfrac {x ^ 2} {(1-xy) ^ 2} – \ dfrac1 {y ^ 2} + g ‘(y) \\ g’ (y) & = y ^ 2 + \ dfrac1 {y ^ 2} \\ g (y) & = \ dfrac13 y ^ 3- \ dfrac 1y \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]
La solución final debe ser [matemática] F (x, y) = C [/ matemática], mira donde la dejamos con [matemática] F (x, y) [/ matemática], conecta [matemática] g (y ) [/ math] para finalizar la solución.
[matemáticas] F (x, y) = C \\\ en caja {\ dfrac 1 {y (1-xy)} + \ dfrac13 y ^ 3- \ dfrac 1y = C} \ tag * {} [/ matemáticas]