Digamos que [math] y_h (t) [/ math] es la solución a la ecuación [math] y ^ {(6)} + y ^ {(3)} = 0 [/ math]. Verifique que [math] y_h (t) + y_p (t) [/ math] siempre satisfaga la ecuación, [math] y ^ {(6)} + y ^ {(3)} = t. [/ Math]
Primero, concéntrese en encontrar [math] y_h (t). [/ Math]
Asuma la forma de [math] y_h (t) = e ^ {mt} [/ math] y conéctela a la ecuación diferencial correspondiente,
[matemáticas] m ^ 3 (m ^ 3 + 1) = 0 [/ matemáticas]
- ¿Existe un método / procedimiento general para encontrar la solución de algún tipo de ecuación diferencial?
- Cómo encontrar la solución general de [matemáticas] y (1+ \ sqrt {x ^ 2y ^ 4 +1}) dx + 2x \, dy = 0 [/ matemáticas]
- Cómo hacer ecuaciones diferenciales
- Cómo determinar la solución general para el PDE [matemáticas] \ displaystyle u_ {tt} + u_ {tx} – 2u_ {xx} = t [/ matemáticas]
- ¿Existen ecuaciones integrales (o antidiferenciales) similares a las ecuaciones diferenciales?
Las soluciones son [matemática] m = 0, -1, \ omega, \ omega ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] \ omega [/ matemática] es la raíz cúbica de la unidad.
Para el caso [math] m = 0 [/ math], [math] y_ {h1} (t) = 1 [/ math]. Pero espere, ya que [math] m = 0 [/ math] se repite tres veces, debe obtener tres soluciones a su ecuación correspondientes a este caso.
Las otras soluciones se pueden escribir en la forma, [matemáticas] y_ {h2} (t) = te ^ {(0 \ cdot t)} [/ matemáticas] y [matemáticas] y_ {h3} (t) = t ^ 2e ^ {(0 \ cdot t)}. [/ math] Verifique que satisfagan la ecuación diferencial.
Obtuve el resultado anterior utilizando el método de reducción de orden.
Para [matemática] m = -1 [/ matemática], solo hay una solución, [matemática] y_ {h4} (t) = e ^ {- t} [/ matemática]
Para [matemáticas] m = \ omega, \ omega ^ 2, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ omega = a + ib [/ matemáticas]
[matemáticas] \ omega ^ 2 = a-ib [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] e ^ {\ omega t} = e ^ {at} \ left (\ cos {bt} + i \ sin {bt} \ right) [/ math]
Y, [matemáticas] e ^ {\ omega ^ 2 t} = e ^ {at} \ left (\ cos {bt} – i \ sin {bt} \ right) [/ math]
If [math] y_ {h5} (t) = \ dfrac {e ^ {\ omega t} + e ^ {\ omega ^ 2 t}} {2} = e ^ {at} \ cos {bt} [/ math ]
Y, [matemáticas] y_ {h6} (t) = \ dfrac {e ^ {\ omega t} – e ^ {\ omega ^ 2 t}} {2i} = e ^ {at} \ sin {bt} [/ matemáticas]
Nuevamente, verifique que las dos soluciones anteriores aún sean independientes.
Entonces, [math] y_h (t) [/ math] se convierte en,
[matemáticas] y_h (t) = c_1 + c_2t + c_3t ^ 2 + c_4e ^ {- t} + c_5e ^ {\ frac {-t} {2}} \ cos {(\ frac {\ sqrt {3} t} {2})} + c_6e ^ {\ frac {-t} {2}} \ sin {(\ frac {\ sqrt {3} t} {2})} [/ math]
Para encontrar [math] y_p (t) [/ math], observe que el lado derecho consta de solo un polinomio. Entonces, puede adivinar que nuestra solución también debería tener solo polinomios.
Observe que [math] y_p (t) = \ dfrac {t ^ 4} {24} [/ math] satisface la ecuación diferencial. Si toma cualquier otro polinomio, siempre dejará algún polinomio de orden superior como resto.
Por lo tanto, la solución a su ecuación diferencial es,
[matemáticas] y (t) = y_h (t) + y_p (t) [/ matemáticas]
[matemáticas] y (t) = c_1 + c_2t + c_3t ^ 2 + c_4e ^ {- t} + c_5e ^ {\ frac {-t} {2}} \ cos {(\ frac {\ sqrt {3} t} {2})} + c_6e ^ {\ frac {-t} {2}} \ sin {(\ frac {\ sqrt {3} t} {2})} + \ dfrac {t ^ 4} {24} [ /matemáticas]