¿Es la ecuación de Schrodinger un tipo de ecuación diferencial de movimiento o una onda? ¿Cuál es la descripción de cada uno de sus componentes, para un laico?

Answer 1

Familiarizado con esta ecuación?

[matemáticas] E = PE + KE [/ matemáticas]

Si has estado en alguna clase de física de secundaria o preparatoria, probablemente dijiste que sí. Esa cosa de la izquierda representa la energía total de un sistema, todas las “cosas” totales que pueden suceder. En el lado derecho, tenemos la energía potencial: todo lo que podría suceder, que se agrega a la energía cinética , que es todo lo que está sucediendo. En física, llamamos a esto la Ley de Conservación de Energía. Si no entra nada desde el exterior, la energía total del sistema (potencial más cinética) se mantiene constante.

Sin embargo, en física cuántica, los conceptos de energía “potencial” y “cinética” se vuelven … difíciles. Por ejemplo, podríamos medir la energía potencial, luego medirla nuevamente un poco más tarde y obtener dos números diferentes. Obviamente, esto hace que el concepto de simplemente sumar ambas energías sea difícil, si lo que obtenemos puede o no tener sentido para el tiempo dado.

Ingrese “operadores”.

Los operadores, en mecánica cuántica, son como funciones. Les decimos cómo es un estado cuántico y escupen un número que describe el sistema. Entonces, para “cuantificar” nuestra ecuación, necesitamos reemplazar los términos de energía potencial y cinética con operadores:

[matemáticas] \ hat {E} = \ hat {K} + \ hat {P} [/ math]

Ahora, solo tenemos que descubrir qué demonios quieren decir nuestros operadores, y estamos bien.

Podemos comenzar pensando en qué queremos decir exactamente cuando hablamos de energía. La energía no es realmente una “cosa” física, no puedes levantarla y sostenerla, así que cuando hablamos de “energía”, generalmente queremos decir “cómo algo cambia con el tiempo”. Ahora, si ha tomado algún cálculo, sabrá que esto significa que deberíamos tomar la primera derivada con respecto al tiempo. Como describimos cosas en mecánica cuántica con funciones de onda ([math] \ psi [/ math]), eso significa que podemos reescribir el lado izquierdo de esta manera:

[matemáticas] i \ hbar \ dfrac {\ partial \ psi} {\ partial t} = \ hat {K} + \ hat {P} [/ math]

La “K” es un poco más difícil. Nuestra pista principal proviene de la Segunda Ley de Newton, que establece que la energía cinética es proporcional a la aceleración de un objeto. Y dado que la aceleración es la segunda derivada con respecto al tiempo, podemos calcular un poco reescribir [math] \ hat {K} [/ math] como

[matemáticas] – \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ triangledown ^ 2 \ psi [/ matemáticas]

donde [math] \ triangledown ^ 2 [/ math] es solo una forma elegante de escribir “la aceleración total”.

Ni siquiera intentaremos reescribir la energía potencial. Simplemente hay demasiadas cosas que entrarían en eso. Todo lo que realmente sabemos es que dependerá de la posición del objeto, por lo que lo reescribiremos como una función y lo dejaremos allí:

[matemáticas] i \ hbar \ dfrac {\ partial \ psi} {\ partial t} = – \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ psi \ triangledown ^ 2 + P (x) \ psi [/ math]

¡Y hemos terminado! Esa es la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo unidimensional: la versión de mecánica cuántica de la ley de conservación de la energía.

TL; DR: La ecuación de Schrodinger es una ecuación diferencial de segundo orden que cuantifica el hecho de que el estado de un objeto depende de la suma de sus energías cinética y potencial.

Answer 2

Es una ecuación, no una onda. Tiene soluciones más o menos ondulantes y más o menos soluciones no ondulantes, ninguna de las cuales “es” la ecuación de Schroedinger.

¿Exactamente cómo es una onda? Dígame a qué se refiere con una “ola” y puede ser posible responder. Si insiste en que las olas estén húmedas, la discusión no llegará muy lejos.

¿Es una ecuación de movimiento? No en el sentido habitual. Describe el desarrollo en el tiempo de una distribución en el espacio, con referencia a dimensiones reales en el espacio. No es un espacio de estado; podría definir un espacio de estado para él, pero esto solo ofuscaría el carácter de “espacio real” del operador diferencial, que se volvería irreconocible. Del mismo modo, no describe el lugar geométrico de un punto en el espacio físico. Si lo llama una “ecuación de movimiento”, necesitaría convertirlo en un nuevo tipo, y aún tendría que aclarar lo que quiere decir con “movimiento”. Probablemente sea mejor no molestarse.

Si desea saber cómo explicar el significado de los símbolos (creo que eso es lo que quiere decir con “componentes”), tiene que ser algo como lo siguiente. Es muy difícil saludar con la mano una explicación como esta sin comentarios sobre lo que está pasando y lo que no, así que puedo estar haciendo un mal trabajo al respecto.

[math] \ Psi [/ math] describe la distribución en el espacio de un sistema físico. Se describe numéricamente, pero en general el número en un punto particular es complejo, no real. El conjunto de números llamados [math] \ Psi [/ math] no es directamente observable, pero lo que podemos observar del sistema es (sujeto a algunas preguntas nudosas de interpretación teórica) a menudo considerado limitado a la información que podríamos deducir directamente de [matemáticas] \ Psi [/ matemáticas] si tuviéramos información perfecta al respecto. En este sentido, todo lo que podemos saber sobre la física del sistema se resume en [math] \ Psi [/ math].

El operador diferencial [math] \ frac {\ partial} {\ partial t} [/ math] es un operador de prefijo; describe cómo la siguiente distribución ([matemática] \ Psi [/ matemática] nuevamente) cambia con el tiempo en cada punto.

Es probable que encuentre la ecuación en dos formas: una forma dependiente del tiempo (totalmente general).

Aquí está la forma general:

[matemáticas] i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) [ /matemáticas]

La forma básica de la ecuación dice que el cambio en la distribución en el tiempo del sistema en un punto particular en el espacio se basa en el comportamiento (más o menos local) del operador hamiltoniano aplicado a [matemáticas] \ Psi [/ matemáticas] en sí. Explicar a los hamiltonianos correctamente es un libro en sí mismo, pero describen la energía total del sistema. Dependiendo de las circunstancias, los hamiltonianos pueden “parecerse” a todo tipo de distribuciones en el espacio. Esta es la “ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo”.

Para una sola partícula que no interactúa con nada más que un campo potencial, ignorando los términos relativistas, esta tiene una forma particularmente simple (aunque está escrita con más símbolos, porque sabemos más sobre la situación). Aquí está:

[matemáticas] i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ left [{\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2 \ mu }} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}, t) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}, t) [/ math]

Esto se llama “independiente del tiempo”, porque aunque el lado derecho incluye un operador diferencial [math] \ nabla ^ 2 [/ math], esto se basa simplemente en diferenciar dos veces con respecto al espacio. Esto significa que la forma en que la distribución [matemática] \ Psi [/ matemática] (en un lugar y hora particular) cambia con el tiempo depende, de un momento a otro, solo de la forma en que se distribuye localmente alrededor de ese lugar en el mismo hora. Las partes distantes de la distribución en el espacio, y la distribución en otros momentos (incluso en tiempos anteriores recientes), en realidad no afectan la forma en que cambia localmente. Esto es un gran problema, y ​​tremendamente conveniente. El coeficiente [math] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2 \ mu} [/ math] es solo una constante física, aparentemente uniforme en todas partes. El otro término [matemáticas] V [/ matemáticas] es una declaración resumida (lo que implica que no están ocurriendo muchas interacciones posibles) sobre la forma en que la energía del sistema depende de todo lo que está fuera del sistema, como energía potencial.

Si eso tiene sentido, puede ayudar como introducción a una explicación más técnica, aquí: ecuación de Schrödinger – Wikipedia

Answer 3

En realidad, la ecuación de Schrodinger tiene dos formas, una en la que aparece explícitamente el tiempo que describe cómo evolucionará la función de onda de una partícula en el tiempo. Hasta ahora, la función de onda se comporta como una onda, por lo que la ecuación a menudo se conoce como la ecuación de onda de Schrodinger dependiente del tiempo, mientras que otra ecuación en la que se ha eliminado la dependencia del tiempo y es por eso que actúa como la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo y se encuentra para describir, entre otras cosas, cuáles son las energías permitidas de la partícula. Estas no son dos ecuaciones independientes, ya que es la ecuación independiente del tiempo que se deriva fácilmente de la ecuación dependiente del tiempo (excepto cuando el potencial depende del tiempo).

Verifique la ecuación de Schrödinger: ¿qué es?

Gracias A2A