Reemplazaré I con y y alfa con x, solo para no confundir las variables.
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {2} (1-yx) = \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2} xy [/ matemáticas]
Entonces es una ecuación diferencial lineal como esta
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = g (x) y + b (x) = – \ frac {1} {2} xy + \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
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Primero, resolviendo la ecuación homogénea
[matemáticas] \ frac {dy_h} {dx} = – \ frac {1} {2} xy_h [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int \ \ frac {1} {y_h} \, dx = \ int \ – \ frac {1} {2} x \, dx [/ matemáticas]
[matemáticas] log | y_h | = – \ frac {1} {4} x ^ 2 + c [/ matemáticas]
Usando la función exponencial en ambos lados, obtengo:
[matemáticas] | y_h | = ce ^ {- 0.25x ^ 2} [/ matemáticas]
Y si hago que c sea positivo, todo el lado derecho será positivo para todas las x (porque la función exponencial siempre es positiva). Por lo tanto, ya no necesito los signos de valor absoluto
Y ahora puedo encontrar la solución particular.
[matemática] \ frac {dy_p} {dx} = \ frac {1} {2} – \ frac {1} {2} xy_p [/ math]
Y el enfoque que utilicé es:
[matemáticas] \ frac {dy_p} {dx} = g (x) y_p + b (x) [/ matemáticas], donde [matemáticas] y_p = c (x) y_h [/ matemáticas]
Entonces, hice que la c de la solución homogénea dependiera de x. Y se puede demostrar que si lo anterior es cierto, lo siguiente también es cierto:
[matemáticas] b (x) = \ frac {dc} {dx} y_h [/ matemáticas]
No entraré en la derivación aquí, debería ser relativamente fácil encontrarlo en línea. Haciendo que la derivada de c sea el tema de la ecuación anterior:
[matemáticas] \ frac {dc} {dx} = \ frac {b (x)} {y_h} [/ matemáticas]
En este caso eso es:
[matemáticas] \ frac {dc} {dx} = \ frac {\ frac {1} {2}} {e ^ {- 0.25x ^ 2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dc} {dx} = \ frac {1} {2} e ^ {0.25x ^ 2} [/ matemáticas]
Y encontrar c tomando la integral:
[matemáticas] \ int \ \ frac {dc} {dx} \, dx = \ int \ \ frac {1} {2} e ^ {0.25x ^ 2} \, dx [/ math]
[matemáticas] c (x) = \ frac {1} {2} \ sqrt {\ Pi} erfi (x) + c_2 [/ matemáticas]
Y la nueva constante aquí también se puede descartar (esto se hará más claro a continuación, pero básicamente es porque ya hay una constante c que aparecerá en la solución final).
Conectando eso para c en nuestra suposición:
[matemáticas] y_p = c (x) y_h = \ frac {1} {2} \ sqrt {\ Pi} erfi (x) e ^ {- 0.25x ^ 2} [/ matemáticas]
Y la solución global consiste en la suma de las soluciones homogéneas y particulares:
[matemáticas] y (x) = y_h + y_p = ce ^ {- 0.25x ^ 2} + \ frac {1} {2} \ sqrt {\ Pi} erfi (x) e ^ {- 0.25x ^ 2} = ce ^ {- 0.25x ^ 2} (c + \ frac {1} {2} \ sqrt {\ Pi} erfi (x)) [/ math]
Y aquí puedes ver la constante de la que hablé antes.
* editar: Olvidé el x ^ 2 al integrar las variables divididas, ahora está arreglado.