Si [math] y = \ sqrt {x + \ sqrt {y + \ sqrt {x + \ cdots}}} [/ math], ¿cuál es el valor de [math] \ dfrac {dy} {dx} [/ math]?

Dado:

[matemáticas] y = \ sqrt {x + \ sqrt {y + \ sqrt {x + \ ldots}}} [/ matemáticas]

[matemática] y = \ sqrt {x + \ sqrt {y + \ underbrace {\ sqrt {x + \ ldots}} _ {= y}}} [/ math]

[matemáticas] y = \ sqrt {x + \ sqrt {y + y}} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ sqrt {x + \ sqrt {2y}} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = x + \ sqrt {2y} [/ matemáticas]

[matemáticas] (y ^ 2-x) ^ 2 = 2y [/ matemáticas]

diferenciando la ecuación anterior wrt [matemáticas] x [/ matemáticas],

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (y ^ 2-x) ^ 2 = \ frac {d} {dx} (2y) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (y ^ 2-x) \ frac {d} {dx} (y ^ 2-x) = 2 \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas]

[matemática] 2 (y ^ 2-x) \ left (2y \ frac {dy} {dx} -1 \ right) = 2 \ frac {dy} {dx} [/ math]

[matemática] 2y (y ^ 2-x) \ frac {dy} {dx} – (y ^ 2-x) = \ frac {dy} {dx} [/ math]

[matemática] 2y (y ^ 2-x) \ frac {dy} {dx} – \ frac {dy} {dx} = y ^ 2-x [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ left (2y (y ^ 2-x) -1 \ right) = y ^ 2-x [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {y ^ 2-x} {2y (y ^ 2-x) -1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {y ^ 2-x} {2y ^ 3-2xy-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ sqrt {x + \ sqrt {y + \ sqrt {x +…}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = x + \ sqrt {y + y} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = x + \ sqrt {2y} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 – x = \ sqrt {2y} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 4 – 2xy ^ 2 + x ^ 2 = 2y [/ matemáticas]

[matemática] y ^ 4 – 2xy ^ 2 + x ^ 2 – 2y = 0 [/ matemática]

Ahora usa la diferenciación implícita

[matemáticas] 4y ^ 3 \ dfrac {dy} {dx} – 2x 2y \ dfrac {dy} {dx} – 2y ^ 2 + 2x – 2 \ dfrac {dy} {dx} = 0 [/ math]

[matemática] \ dfrac {dy} {dx} (4y ^ 3 – 4 xy -2) = 2y ^ 2 – 2x [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} (2y ^ 3 – 2 xy -1) = y ^ 2 – x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {y ^ 2 -x} {2y ^ 3 – 2xy -1} [/ matemáticas]

¡Hola!

Abordemos el problema reescribiéndolo un poco primero:

[matemáticas] y = \ sqrt {x + \ sqrt {y + \ sqrt {x +…}}}. [/ matemáticas]

Podemos ver que la tercera raíz cuadrada es igual a y nuevamente. Vamos a completar esto:

[matemáticas] y = \ sqrt {x + \ sqrt {y + y}}. [/ matemáticas]

Cuadramos ambos lados de la ecuación y restamos x:

[matemáticas] y ^ 2 – x = \ sqrt {2y}. [/ matemáticas]

Otra acción de cuadratura da:

[matemáticas] y ^ 4 – 2xy ^ 2 + x ^ 2 = 2y [/ matemáticas]

Otra forma de escribir esta ecuación es

[matemáticas] f (x, y) = y ^ 4 – 2xy ^ 2 + x ^ 2 – 2y = 0 [/ matemáticas]

Ahora escribimos esta fórmula en forma diferencial:

[matemáticas] df = \ frac {\ partial f} {\ partial x} dx + \ frac {\ partial f} {\ partial y} dy = 0. [/ math]

Podemos reorganizar los términos para obtener [math] dy / dx = – \ frac {\ partial f} {\ partial x} / \ frac {\ partial f} {\ partial y}. [/ Math]

Tenga en cuenta que este resultado es bastante general, ¡y no está restringido a este ejemplo!

Ahora todo lo que tenemos que hacer es una diferenciación parcial:

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x} = -2y ^ 2 + 2x [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial y} = -2 -4xy + 4y ^ 3. [/ matemática]

Completar estos resultados y simplificar da:

[matemática] dy / dx = \ frac {xy ^ 2} {1 + 2xy-2y ^ 3}. [/ matemática]

¡Ahí tienes!

* A2A

No hubo necesidad de pedirme la respuesta, otros ya han dado las respuestas correctas 🙂

[matemáticas] y = \ sqrt {x + \ sqrt {y + \ sqrt {x + \ cdots}}} \\ y ^ 2 = x + \ sqrt {y + \ sqrt {x + \ cdots}} \\ y ^ 2 = x + \ sqrt {y + y} \\ y ^ 2 = x + \ sqrt {2y} \\ y ^ 2-x = \ sqrt {2y} \\ 2y = y ^ 4-2xy ^ 2 + x ^ 2 \\\ text { Tomando la derivada de ambos lados con respecto a} x… \\ 2 \ dfrac {dy} {dx} = 4y ^ 3 \ dfrac {dy} {dx} -2y ^ 2-4xy \ dfrac {dy} {dx} + 2x \\ (2y ^ 3-2xy-1) \ dfrac {dy} {dx} = y ^ 2-x \\\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {y ^ 2-x} {2y ^ 3 -2xy-1} \ tag * {} [/ math]