¿Cuál es la solución a esta ecuación diferencial: [matemáticas] \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} + \ frac {1} {x} \ frac {dy} {dx} + (a ^ 2 + \ frac {n ^ 2} {x ^ 2}) y [/ matemáticas] [matemáticas] = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas], la ecuación diferencial dada se puede escribir en la forma:

[matemáticas] \ displaystyle x \ left (x y ” (x) + y ‘(x) \ right) + \ left (a ^ 2 x ^ 2 + n ^ 2 \ right) y (x) = 0 [/ matemáticas]

También se puede expresar como una ecuación de Sturm-Liouville:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ left (xy ‘(x) \ right) + x \ left (a ^ 2 + \ frac {n ^ 2} {x ^ 2} \ right) y ( x) = 0 [/ matemáticas]

Y se puede escribir de manera equivalente como:

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 y ” (x) + x y ‘(x) + \ left (a ^ 2 x ^ 2 + n ^ 2 \ right) y (x) = 0 [/ math] (1 )

Esta ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden es transformable en la ecuación de Bessel generalmente dada por:

[matemáticas] {\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {\ frac {dy} {dx}} + (x ^ {2} – \ alpha ^ {2}) y = 0} [/ math]

De hecho, existe una versión transformada de la ecuación diferencial de Bessel (véase, por ejemplo, el artículo Ecuación diferencial de Bessel) expresada como:

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 y ” (x) + (2 p + 1) x y ‘(x) + \ left (a ^ 2 x ^ {2 r} + b ^ 2 \ right) y (x ) = 0 [/ matemáticas] (2)

La solución a esta última ecuación diferencial viene dada por:

[matemáticas] \ displaystyle y (x) = x ^ {- p} \ left (C_1 J _ {\ frac {q} {r}} \ left (\ frac {ax ^ r} {r} \ right) + C_2 Y_ {\ frac {q} {r}} \ left (\ frac {ax ^ r} {r} \ right) \ right) [/ math]

donde [math] J_n (z) [/ math] es la función Bessel del primer tipo, [math] Y_n (z) [/ math] es la función Bessel del segundo tipo y [math] \ displaystyle q = \ sqrt {p ^ 2-b ^ 2} [/ math].

Comparando la ecuación (1) con la ecuación más general (2) , se puede ver que son iguales si tenemos

[matemática] p = 0 [/ matemática], [matemática] a = a [/ matemática], [matemática] b = n [/ matemática] y [matemática] r = 1 [/ matemática].

En este caso

[matemáticas] \ displaystyle q = \ sqrt {p ^ 2-b ^ 2} = \ sqrt {0-n ^ 2} = \ sqrt {i ^ 2 n ^ 2} = en [/ matemáticas]

donde [matemáticas] i [/ matemáticas] es evidentemente la unidad de números imaginarios.

Usando los valores anteriores, se encuentra que la solución a la ecuación diferencial (1) es:

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {y (x) = c_1 J_ {in} (ax) + c_2 Y_ {in} (ax)} [/ math]

Cabe señalar que este problema se puede resolver y la solución a la ecuación diferencial dada se puede encontrar con Mathematica escribiendo el código:

DSolve [y ” [x] + (1 / x) y ‘[x] + (a ^ 2 + n ^ 2 / x ^ 2) y [x] == 0, y [x], x]

Como una representación gráfica de muestra de la solución, aquí hay una gráfica tridimensional de la parte real de la solución [matemática] J_ {in} (x) + Y_ {in} (x) [/ math] (hecha con Mathematica, el las variables son [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] z = f (n, x) [/ matemáticas]):

Y aquí hay una gráfica de la parte imaginaria de [matemáticas] J_ {in} (x) + Y_ {in} (x): [/ math]

Answer 2

EDITAR: Esta respuesta ya no es válida; fue la solución a la ecuación [matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + \ frac1x \ frac {dy} {dx} + \ left (a ^ 2 + \ frac {n ^ 2} {x ^ 2} \ right) x = 0 [/ math].

Llamemos a [math] Y = \ frac {dy} {dx} [/ math]. Estamos buscando soluciones de la ecuación:

[matemáticas] \ frac {dY} {dx} (x) + \ frac1x Y (x) = – \ left (a ^ 2 + \ frac {n ^ 2} {x ^ 2} \ right) x [/ math]

La parte homogénea de esta ecuación es por lo tanto

[matemáticas] \ frac {dY_0} {dx} + \ frac1x Y_0 = 0 [/ matemáticas]

Lo que trivialmente tiene para solución general [matemática] Y_0 (x) = \ frac {C} x, C \ in \ R [/ math].

Ahora estamos buscando una solución específica de la ecuación general. Llamemos a [math] Y_1 = \ frac {C (x)} x [/ math], con [math] C [/ math] una función diferenciable.

[matemáticas] \ frac {dY_1} {dx} (x) = \ frac {\ frac {dC} {dx} (x) x – C (x)} {x ^ 2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la ecuación general aplicada a [matemáticas] Y_1 [/ matemáticas] da:

[matemáticas] \ frac {\ frac {dC} {dx} (x) x – C (x)} {x ^ 2} + \ frac1x \ frac {C (x)} x = – \ left (a ^ 2 + \ frac {n ^ 2} {x ^ 2} \ right) x [/ math]

[matemáticas] \ frac1x \ frac {dC} {dx} (x) = – \ left (a ^ 2 + \ frac {n ^ 2} {x ^ 2} \ right) x [/ math]

[matemáticas] \ frac {dC} {dx} (x) = -a ^ 2x ^ 2 – n ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, una solución específica para [matemáticas] C [/ matemáticas] es [matemáticas] C (x) = – \ frac {a ^ 2} 3x ^ 3 – n ^ 2x [/ matemáticas], y una solución específica viene dada por [ matemáticas] Y_1 (x) = \ frac {C (x)} x = – \ frac {a ^ 2} 3x ^ 2 – n ^ 2 [/ matemáticas], que nos da la solución general de la ecuación:

[matemáticas] Y (x) = Y_0 (x) + Y_1 (x) = \ frac {C} x – \ frac {a ^ 2} 3x ^ 2 – n ^ 2, C \ in \ R [/ matemática].

Finalmente, obtenemos la solución general de [math] y [/ math] integrando [math] Y [/ math]:

[matemática] y (x) = C \ ln {x} – \ frac {a ^ 2} 9x ^ 3 – n ^ 2x + C ‘[/ matemática] con [matemática] C, C’ \ in \ R [/ matemáticas].