Puede resolver esto simplemente usando un factor integrador.
El factor integrante en un ODE lineal de primer orden escrito en esta forma es el exponencial de una antiderivada del coeficiente del término [math] y [/ math].
Aquí hay una antiderivada.
[matemáticas] \ int – \ ln x \ dx = -x \ ln x + x [/ matemáticas]
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Y el exponencial de esta función (es decir, el factor integrador) es:
[matemáticas] \ exp (-x \ ln x + x) = x ^ {- x} \ cdot e ^ x [/ matemáticas]
Multiplicar ambos lados de la ecuación por el factor integrante hace que el lado izquierdo sea la derivada exacta del factor integrador multiplicado por [math] y [/ math].
[matemáticas] \ frac d {dx} \ left (x ^ {- x} e ^ x \ cdot y \ right) = 9x ^ {x} \ cdot x ^ {- x} e ^ x = 9e ^ x [/ matemáticas]
Por lo tanto, solo necesitamos poder integrar el lado derecho para resolver la ecuación. El lado derecho es, por supuesto, igual a su propia antiderivada, por lo que podemos escribir:
[matemáticas] \ frac d {dx} \ left (x ^ {- x} e ^ x \ cdot y \ right) = \ frac d {dx} (9e ^ x) [/ math]
Ahora sabemos que si dos funciones tienen la misma derivada, solo pueden diferir en una constante y vemos que:
[matemáticas] x ^ {- x} e ^ x \ cdot y = 9e ^ x + C [/ matemáticas]
Resolver para [math] y [/ math] da la solución general:
[matemáticas] y = 9x ^ {- x} + C \ cdot x ^ {x} e ^ {- x} [/ matemáticas]
