Digamos que tenemos una función
[matemáticas] z = xy [/ matemáticas]
Este es un ejemplo simple, y digamos que queremos encontrar el conjunto de derivadas en que [math] z [/ math] consiste para cada miembro de su entrada vectorial. Las formas comunes de escribir esto son.
[matemáticas] \ frac {d} {d (x, y)} z [/ matemáticas] o [matemáticas] \ nabla z [/ matemáticas]
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Después de que haya expresado el valor que está buscando, realice esa operación en [math] z [/ math] que, según hemos indicado, es igual a [math] xy [/ math].
Lo que es una derivada parcial es el cambio en una variable de respuesta por cambio en una variable de entrada con todas las demás mantenidas constantes. Si quiere pensarlo gráficamente, es similar a una derivada 2D normal si tuviera que mirar un plano específico en el espacio 3D. Hará una línea tangente. Sin embargo, cómo funcionan matemáticamente puede ser muy diferente, y generalmente lo es.
Continuando, hagamos lo que acabamos de decir, digamos que quiero encontrar la derivada parcial de [math] z [/ math] con respecto a [math] x [/ math] si la derivada parcial es el cambio en la respuesta por uno entrada con todos los demás mantenidos constantes, eso significa que, por un momento, supongo que [math] y [/ math] es constante, y solo tomo una derivada normal (supongo que estás bastante familiarizado con eso). Encontramos eso.
[matemáticas] \ frac {\ partial z} {\ partial x} = y [/ matemáticas]
Esto debería tener una buena cantidad de sentido, para cualquier [matemática] y [/ matemática] específica, el cambio en [matemática] z [/ matemática] por cambio en [matemática] x [/ matemática] es constante, es solo una línea recta . Cuanto mayor sea [matemática] y [/ matemática], mayor será la pendiente de esa línea.
Ahora hagamos lo mismo para el parcial de [math] z [/ math] con respecto a [math] y [/ math], obtenemos.
[matemáticas] \ frac {\ partial z} {\ partial y} = x [/ math]
El proceso de pensamiento sobre la explicación geométrica es similar al último.
Entonces, ¿qué pasa con nuestra pregunta inicial, [matemáticas] \ frac {d} {d (x, y)} z [/ matemáticas], obtuvimos dos respuestas diferentes!
Bueno, deberíamos! Si algo tiene más de una entrada, tiene más de un medio de cambio. Si tenemos más de una parte de una cosa, eso generalmente significa un vector, y sí, lo es. El valor vectorial de todas las derivadas parciales se denomina gradiente y, en este caso, se escribiría así.
[matemáticas] \ frac {d} {d (x, y)} z = (y, x) [/ matemáticas]
Escribe los parciales en el orden especificado en el operador derivado, o de la manera que tenga más sentido en el caso [math] \ nabla z [/ math] donde no está claro (Esto es parte de por qué algunas personas prefieren usar [matemáticas] (x_1, x_2, x_3) [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] más claridad.
Para parciales de segundo orden, ¡haces lo mismo! Solo ahora, dado que tiene un vector, lo hace para cada parte de esta lista. Las formas comunes de escribir esto son …
[matemáticas] (\ frac {d} {d (x, y)} \ frac {\ partial z} {\ partial x}, \ frac {d} {d (x, y)} \ frac {\ partial z} {\ parcial y}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d} {d (x, y)} (\ frac {d} {d (x, y)} z) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla ^ 2 z [/ matemáticas]
Creo que tienes la idea de a dónde podría estar yendo esto, pero si quieres más aclaraciones, ¡no dudes en preguntar!