La pregunta dada se puede escribir en el formulario
[matemáticas] y ‘-y \ dfrac {1-xx ^ 2} {x ^ 3} = \ dfrac {x + 2x ^ 2} {x ^ 3} [/ matemáticas]
El factor integrador de la ecuación lineal de Leibnitz anterior es
IF = [matemáticas] e ^ {\ displaystyle – \ int \ frac {1} {x ^ 3} dx + \ displaystyle \ int \ frac {x} {x ^ 3} dx + \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 2 } {x ^ 3} dx} [/ matemáticas]
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IF = [matemáticas] e ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x} + log x} [/ matemáticas]
IF = [matemática] e ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}. E ^ {log x} [/ math]
SI = [matemáticas] x. [/ Matemáticas] [matemáticas] e ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}} [/ matemáticas]
Entonces, la solución de la ecuación diferencial dada es,
[matemática] y. ({IF}) = \ displaystyle \ int \ dfrac {x + 2x ^ 2} {x ^ 3}. ({IF}) dx + C [/ math]
[matemáticas] y. {xe ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} = \ displaystyle \ int \ dfrac {x + 2x ^ 2} {x ^ 3}. {xe ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} dx + C [/ matemáticas]
Tomando el RHS de la ecuación,
I = [matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {x + 2x ^ 2} {x ^ 3}. {Xe ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} dx [/matemáticas]
I = [matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {x + 2x ^ 2} {x ^ 2}. {E ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} dx [/matemáticas]
I = [matemáticas] \ displaystyle \ int ({\ dfrac {x} {x ^ 2} + \ dfrac {2x ^ 2} {x ^ 2}}). {E ^ {\ frac {1} {2x ^ 2 } – \ frac {1} {x}}} dx [/ math]
I = [matemáticas] \ displaystyle \ int ({\ dfrac {1} {x} +2}). {E ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} dx [/matemáticas]
I = [matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} {x} dx + \ displaystyle 2 \ int {e ^ { \ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} dx [/ math]
Y entonces…
[matemáticas] y. {xe ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} = \ displaystyle \ int \ dfrac {e ^ {\ frac {1} {2x ^ 2 } – \ frac {1} {x}}} {x} dx + \ displaystyle 2 \ int {e ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} dx + C [ /matemáticas]
[matemáticas] y. {xe ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}} = \ displaystyle \ int e ^ {\ frac {1} {2x ^ 2} – \ frac {1} {x}}. \ dfrac {1} {x} dx + \ displaystyle 2 \ int {e ^ {\ frac {1} {2x ^ 2}} .e ^ {\ frac {-1} { x}}} dx + C [/ matemáticas]
Actualización: Gracias Aryan Arora. Sucede que … no es una integral elemental. Entonces, … Hmmm … ¡Ese es el trato!