Cómo resolver [matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {dz} {dx} + \ left (\ dfrac {z} {x} \ right) \ log z = \ dfrac {z} {x} \ left (\ log z \ derecha) ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 1

Este es un ejemplo de la EDO de Bernoulli. Usamos la sustitución para convertirlo en un ODE lineal de primer orden y luego usamos el concepto de factor integrador.

En este caso, lo sustituimos dos veces.

Tenemos,

[matemáticas] \ dfrac {dz} {dx} + \ left (\ dfrac {z} {x} \ right) \ log z = \ dfrac {z} {x} \ left (\ log z \ right) ^ 2 [ /matemáticas]

Dividiendo por z, obtenemos,

[matemáticas] \ dfrac {1} {z} \ dfrac {dz} {dx} + \ dfrac {1} {x} \ log z = \ dfrac {1} {x} \ left (\ log z \ right) ^ 2 [/ matemáticas]

Sustituir [math] \ log z = t \ implica \ dfrac {1} {z} \ dfrac {dz} {dx} = \ dfrac {dt} {dx} [/ math]

De ahí que nuestra ecuación se convierta,

[matemáticas] \ dfrac {dt} {dx} + \ dfrac {t} {x} = \ dfrac {t ^ 2} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {t ^ 2} \ dfrac {dt} {dx} + \ dfrac {1} {x} \ dfrac {1} {t} = \ dfrac {1} {x} [ /matemáticas]

Ahora sustituimos [math] \ dfrac {1} {t} = u [/ math] para obtener,

[matemáticas] – \ dfrac {du} {dx} + \ dfrac {u} {x} = \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {du} {dx} – \ dfrac {1} {x} u = – \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] IF = e ^ {- \ int \ frac {1} {x} dx} = \ dfrac {1} {x} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la solución es:

[matemáticas] \ dfrac {u} {x} = – \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x} \ cdot \ dfrac {1} {x} dx + C = \ dfrac {1} {x} + C [ /matemáticas]

Reemplazando [math] u = \ dfrac {1} {\ log z} [/ math] obtenemos la solución general como,

[matemática] \ en caja {\ dfrac {1} {\ log z} = 1 + Cx} [/ matemática]

Answer 2

Podemos reorganizar la ecuación para separar las variables de z y x.

[matemáticas] \ frac {dz} {dx} + (\ frac {z} {x}) \ log {z} = \ frac {z} {x} \ log ^ 2 {x} [/ math]

[matemáticas] \ frac {dz} {dx} = \ frac {z \ log {z} (\ log {z} – 1)} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dz} {z \ log {z} (\ log {z} – 1)} = \ frac {1} {x} \, dx [/ matemáticas]

Integrando ambos lados,

[matemáticas] \ int \ frac {dz} {z \ log {z} (\ log {z} – 1)} = \ int \ frac {1} {x} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ int \ frac {d \ log {z}} {\ log {z} (\ log {z} -1)} = \ log {x} [/ math]

[matemáticas] \ int \ frac {d \ log {z}} {\ log {z} – 1} – \ frac {d \ log {z}} {\ log {z}} = \ log {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log {(\ log {z} – 1)} – \ log {\ log {z}} = \ log {x} [/ math]

[matemáticas] \ log {\ frac {\ log {z} – 1} {\ log {z}}} = \ log {x} [/ matemáticas]

Aplicando exp a ambos lados ,

[matemáticas] \ frac {\ log {z} – 1} {\ log {z}} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ log {z} – 1 = x \ log {z} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log {z} (1 – x) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log {z} = \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {z = \ exp {\ frac {1} {1-x}}, \, x \ neq 1} [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] \ frac {dz} {dx} + \ frac {z} {x} log (z) = \ frac {z} {x} log ^ 2 (z) [/ math]

[matemáticas] \ frac {dz} {dx} = \ frac {z} {x} log ^ 2 (z) – \ frac {z} {x} log (z) [/ math]

[matemáticas] \ frac {dz} {dx} = \ frac {z} {x} [log ^ 2 (z) – log (z)] [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {z [log ^ 2 (z) – log (z)]} dz = \ frac {dx} {x} [/ math]

Ahora resuelve las integrales en ambos lados.

Answer 4

Poner log (z) = t

Entonces dz / dx = e ^ t dt / dx

Sustituyendo y cancelando e ^ ton ambos lados,

Obtenemos dt / (t ^ 2 -1) = dx / x

Ahora se puede hacer fácilmente.

Answer 5

1. Sustituya z = e ^ t, entonces la ecuación se reducirá a variable separable
2. Resolverlo y sustituir de nuevo por t, que es t = ln (z)