Cómo integrar X3 dy / dx = (1 + x) (1-y2) dado cuando y = 0, x = -1

Answer 1

[matemáticas] x ^ {3} \ frac {dy} {dx} = (1 + x) (1-y ^ {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {1-y ^ {2}} x ^ {3} dy = 1 + x dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {1-y ^ {2}} dy = \ frac {1} {x ^ {3}} (1 + x) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 – y ^ {- 2} dy = x ^ {- 3} + x ^ {- 2} dx [/ matemáticas]

Ahora que hemos simplificado, podemos integrarnos. [matemática] \ int 1 dy = y + C [/ matemática] y [matemática] \ int y ^ {- 2} dy = \ frac {y ^ {- 1}} {- 1} + C = – y ^ {-1} + C [/ math], usando la regla de poder. Entonces:

[matemáticas] y – (- y ^ {- 1}) + C_1 = \ int x ^ {- 3} + x ^ {- 2} dx = – \ frac {x ^ {- 2}} {2} – x ^ {- 1} + C_2 [/ matemáticas]

Ahora, limpiemos el LHS:

[matemáticas] y + y ^ {- 1} + C_1 = y + \ frac {1} {y} + C_1 [/ matemáticas]

Ahora, si usamos habilidades básicas de fracción (denominadores comunes y todo ese jazz), obtenemos:

[matemáticas] \ frac {y ^ {2} -1} {y} + C_1 [/ matemáticas]

Entonces, la respuesta final es:

[matemáticas] \ frac {y ^ {2} -1} {y} + C_1 = – \ frac {x ^ {- 2}} {2} – x ^ {- 1} + C_2 [/ matemáticas]

Espero que esto haya ayudado! 🙂

Answer 2

* A2A

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} x ^ 3 \ dfrac {\ mathrm {dy}} {\ mathrm {dx}} & = (1 + x) (1-y ^ 2) \\\ int \ dfrac {\ mathrm {dy}} {1-y ^ 2} & = \ int \ dfrac {1 + x} {x ^ 3} \ mathrm {dx} \\\ int \ dfrac {1 + y + 1- y} {2 (1-y ^ 2)} \ mathrm {dy} & = \ int \ dfrac1 {x ^ 2} \ cdot \ left (1+ \ dfrac1x \ right) \ mathrm {dx} \\\ dfrac12 \ int \ dfrac1 {1-y} + \ dfrac1 {1 + y} \ mathrm {dy} & = \ int- \ left (1 + u \ right) \ mathrm {du}, \ left [\ text {Taking} u = \ dfrac1x \ right] \\\ dfrac12 \ ln \ left | \ dfrac {1 + y} {1-y} \ right | & = – u- \ dfrac {u ^ 2} 2 + C \\\ dfrac12 \ ln \ left | \ dfrac {1 + y} {1-y} \ right | & = – \ dfrac1x- \ dfrac1 {x ^ 2} + C \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [ /matemáticas]

Aplicando condiciones iniciales, [matemáticas] y (-1) = 0 [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ dfrac12 \ ln 1 = 1 + 1 + C \\ C = -2 \ tag * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la solución es

[matemáticas] \ boxed {\ dfrac12 \ ln \ left | \ dfrac {1 + y} {1-y} \ right | = – \ dfrac1x- \ dfrac1 {x ^ 2} -2} \ tag * {} [/ matemáticas]