¿El problema del valor inicial a continuación tiene una solución? [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = 2x \ sqrt {1-y ^ {2}}, \ \ y (0) = 5 [/ matemáticas]

Answer 1

Resolviendo la ecuación diferencial dada separando las variables:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {y ‘(x)} {\ sqrt {1-y (x) ^ 2}} = 2 x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dy} {\ sqrt {1 – y (x) ^ 2}} = 2 x dx [/ matemáticas]

Integrando ambos lados obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {\ sqrt {1 – y ^ 2}} \, dy = \ int 2 x \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ {- 1} (y (x)) = c + x ^ 2 [/ matemáticas]

Usando la condición inicial [math] y (0) = 5 [/ math], se puede encontrar el valor de la constante [math] c [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ sin (c + x ^ 2) = \ sin (c) = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle c = \ sin ^ {- 1} (5) [/ matemáticas]

Así, la solución de la ecuación diferencial con la condición inicial dada es:

[matemáticas] \ displaystyle y (x) = \ sin \ left (x ^ 2 + \ sin ^ {- 1} (5) \ right) [/ math]

o equivalente (verificado con Mathematica):

[matemáticas] \ displaystyle y (x) = 5 \ cos \ left (x ^ 2 \ right) +2 i \ sqrt {6} \ sin \ left (x ^ 2 \ right) [/ math]

[matemática] \ sin ^ {- 1} (5) [/ matemática] no se define como un número de valor real, sin embargo, cuando el dominio se extiende al plano complejo, se expresa como un número complejo trascendental que tiene un valor numérico complejo (verificado con Mathematica y Wolfram Alpha):

[matemáticas] \ sin ^ {- 1} (5) = \ frac {\ pi} {2} -i \ ln \ left (5 + 2 \ sqrt {6} \ right) = i \ sinh ^ {- 1} (-5 i) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin ^ {- 1} (5) \ aproximadamente 1.57079632679490-2.29243166956118 i [/ matemáticas]

Para valores complejos [math] z [/ math], se cumple la siguiente relación:

[matemáticas] \ displaystyle \ sin ^ {- 1} (z) = -i \ ln \ left (iz + \ sqrt {1-z ^ 2} \ right) [/ math]

Consulte, por ejemplo, el artículo Seno inverso: de Wolfram MathWorld.

A continuación se muestra una gráfica de la parte real (en rojo) y de la parte imaginaria (en azul) de la solución a la ecuación diferencial con la condición dada:

El código de Mathematica para la gráfica anterior es:

Trazar [{Re [Sin [ArcSin [5] + x ^ 2]], Im [Sin [ArcSin [5] + x ^ 2]]}, {x, -6, 6},
PlotTheme -> “Científico”]

Answer 2

Usando el método separable variable,

dy / √ (1-y²) = 2xdx

Integrando ambos lados

sin -¹ y = x² + C

Cuando x = 0, y = 5

sin-¹ (5) = C.

Que no está definido .. El dominio de Cuz de sin-¹ es

[-1, 1]. Y 5 no se encuentra entre -1 y 1 XD

Entonces lo anterior no tiene solución.

Answer 3

dy / sqrt (1-y ^ 2) = 2xdx

arcsin (y) = x ^ 2 + C.

y no puede ser 5 porque -1 <= y <= 1.

Por tanto, la respuesta es no. En realidad podemos ver eso antes de resolver la ecuación.

Answer 4

¿El problema del valor inicial a continuación tiene una solución? Y ‘= 2 x sqrt (1 – y ** 2), y (0) = 5

Supongo que “y ** 2” significa “[matemática] y ^ 2 [/ matemática]” – al menos, creo que (alguna vez) aprendí un lenguaje de computadora para el cual esa era la convención de exponenciación.

Si eso es correcto, no puede haber solución, por la sencilla razón de que [matemáticas] y ‘= 2x \ sqrt {1-y ^ 2} [/ matemáticas] no está definido cuando [matemáticas] y = 5 [/ matemáticas] .

E incluso si permitimos que [math] x = 0 [/ math] anule la raíz cuadrada imaginaria y supongamos que [math] y ‘[/ math] toma el valor 0 en el punto [math] (0,5) [/ matemática], concluiríamos que [matemática] y \ aprox 5 [/ matemática] para [matemática] x \ aprox 0 [/ matemática], para la cual este DE no da un valor real.

(Tenga en cuenta que esta objeción aún se mantiene incluso si “y ** 2” es simplemente un error tipográfico, y la intención era “y * 2”).