¿Cuál debería ser mi enfoque para resolver esta integral definida?

Answer 1

[matemáticas] I = \ Large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ left [\ dfrac {256.i ^ {6}. \ dfrac {d ^ {2}} {d \ theta ^ {2}} \ left \ {\ displaystyle \ prod_ {r = 1} ^ {503} e ^ {(2r-1) i. \ theta} \ right \}} {\ displaystyle \ prod_ {r = 0} ^ {502} e ^ {(2r + 1) i. \ Theta}} \ right] ^ {\ dfrac {1} {4}} d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {r = 0} ^ {502} e ^ {(2r + 1) i. \ theta} = \ displaystyle \ prod_ {r = 1} ^ {503} e ^ {(2r-1 ) i. \ theta} = \ exp \ left (i \ theta \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {503} (2r-1) \ right) = \ exp (503 ^ 2i \ theta) = e ^ { 503 ^ 2i \ theta} [/ matemáticas]

Por lo tanto, su doble derivada es,

[matemáticas] \ dfrac {d ^ {2}} {d \ theta ^ {2}} \ left \ {\ displaystyle \ prod_ {r = 1} ^ {503} e ^ {(2r-1) i. \ theta } \ right \} = i ^ 2503 ^ 4e ^ {503 ^ 2i \ theta} [/ math]

Sustituir de nuevo,

[matemáticas] I = \ Large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ left [\ dfrac {256.i ^ {6} .i ^ 2503 ^ 4e ^ {503 ^ 2i \ theta}} {e ^ { 503 ^ 2i \ theta}} \ right] ^ {\ dfrac {1} {4}} d \ theta [/ math]

[math] = \ Large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ left [256.i ^ {8} .503 ^ 4 \ right] ^ {\ dfrac {1} {4}} d \ theta [/ matemáticas]

[math] = \ Large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ left [4 ^ 4.503 ^ 4 \ right] ^ {\ dfrac {1} {4}} d \ theta [/ math]

[math] = \ Large \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} 2012 \ d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ Grande \ en caja {I = 2012} [/ matemáticas]

Answer 2

Sí, la pregunta en sí es muy simple, pero se ha complicado

denominador es

[matemáticas] D (n) = \ displaystyle \ prod_ {r = 0} ^ {502} e ^ {(2r + 1) i \ theta} = e ^ {i. \ theta} .e ^ {3i. \ theta } .e ^ {5i. \ theta} \ cdots a ~ 503 ~ términos [/ math]

[matemáticas] = e ^ {i \ theta (1 + 3 + 5 + \ cdots a ~ 503 ~ términos)} = e ^ {i \ theta. 503 ^ {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] [P (n) = 1 + 3 + 5 + \ cdots n ~ términos = n ^ {2}] [/ matemáticas]

y para el numerador tenemos lo mismo

[matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {r = 1} ^ {503} e ^ {(2r-1) i. \ theta} = e ^ {i \ theta (1 + 3 + 5 + \ cdots a ~ 503 ~ términos )} = e ^ {i \ theta .503 ^ {2}} [/ math]

entonces [matemáticas] N (n) = 256.i ^ {6} \ dfrac {d ^ {2}} {d \ theta ^ {2}} \ left [e ^ {i \ theta .503 ^ {2}} \ right] = – 256. (i ^ {2} .503 ^ {4} .e ^ {i \ theta .503 ^ {2}}) = (256.503 ^ {4}) e ^ {i \ theta .503 ^ {2}} [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] \ dfrac {N (n)} {D (n)} = (4 ^ {4} .503 ^ {4}) = (2012 ^ {4}) [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} (2012 ^ {4}) ^ {\ dfrac {1} {4}} d \ theta = 2012 [/ matemáticas]

Answer 3

Quien hizo esta pregunta estaba tratando de hacer que algo pareciera complicado. Tenga en cuenta que los productos son idénticos. Tenga en cuenta que podemos convertir el producto en e ^ (una suma). Tenga en cuenta que la suma de los primeros n números impares positivos es n ^ 2. Tenga en cuenta que la segunda derivada extrae dos factores de i * 503 ^ 2, dejando el resto e ^ (una suma) para cancelar con el denominador. Mira cómo convenientemente ahora tenemos la constante 4 ^ 4 503 ^ 4 elevada a la potencia 1/4. La integral de una constante sobre 0 a 1 es solo la constante: 4 * 503 = 2012. Supongo que este problema tiene cinco años.

Answer 4

No he realizado el cálculo real, pero los pasos para hacerlo son bastante sencillos. Se ve mucho más aterrador de lo que realmente es.
Primero debes calcular los productos. Se convierten en suma en los exponentes. Sugerencia: no se moleste en calcular realmente las sumas en este momento.
Segundo caclular la derivación en el numerador.
Tercero, calcule la división de los exponenciales, que por supuesto se convierte en restar el exponente del denominador del exponente en el numerador. La mayoría de los sumandos en el exponente desaparecen.
La potencia 1/4 se convierte en un factor 1/4 en el exponente.
Finalmente, puede hacer la integral trivial sobre una exponencial multiplicada por una constante.
Ordena los factores (realiza la suma – es elemental – y recuerda 256 = 2 ^ 8) y listo.

Answer 5

Me pregunto si esta pregunta fue publicada por diversión, así que déjame tener algo de 🙂

• Se tarda un segundo en darse cuenta de que [matemática] 2r + 1 [/ matemática] y [matemática] 2r-1 [/ matemática] son ​​generadores de números impares
• La suma de [matemática] 2r-1 [/ matemática], de [matemática] r = 1 [/ matemática] a [matemática] r = 503 [/ matemática] es la misma que la suma de [matemática] 2r + 1 [ / math] de [math] r = 0 [/ math] a [math] r = 502 [/ math], ya que los generadores de secuencia difieren en [math] 2 [/ math], otra propiedad de dos números impares sucesivos.

Ahora, escribiendo esto matemáticamente …

[matemáticas] \ text {Observe que …} \\ \ prod_ {r = 1} ^ {503} e ^ {(2r-1) i \ theta} = e ^ {i \ theta \ sum1 + 3 + 5 + \ cdots} \\\ prod_ {r = 0} ^ {502} e ^ {(2r + 1) i \ theta} = e ^ {i \ theta \ sum1 + 3 + 5 + \ cdots} \\\\\ text {Suma de} n \ text {números impares consecutivos} = n ^ 2 \\\ text {Entonces, podemos escribir …} \\\ prod_ {r = 1} ^ {503} e ^ {(2r-1) i \ theta} = \ prod_ {r = 0} ^ {502} e ^ {(2r + 1) i \ theta} = e ^ {i \ theta \ sum_ {r = 1} ^ {503} (2r-1) } = e ^ {503 ^ 2i \ theta} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ text {Tomar la segunda derivada produce …} \\\ dfrac {d ^ 2} {d \ theta ^ 2} \ left [\ prod_ {r = 1} ^ {503} e ^ {(2r-1 ) i \ theta} \ right] = \ dfrac {d ^ 2} {d \ theta ^ 2} (e ^ {503 ^ 2i \ theta}) = 503 ^ 4i ^ 2e ^ {503 ^ 2i \ theta} \ tag *{}[/matemáticas]

Ahora, poniendo todo en la integral …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ left [\ dfrac {256 \ cdot i ^ 6 \ cdot \ dfrac {d ^ 2} {d \ theta ^ 2} {\ prod_ {r = 1} ^ {503} e ^ {(2r-1) i \ theta}}} {\ prod_ {r = 0} ^ {502} e ^ {(2r + 1) i \ theta}} \ right ] ^ {\ frac 14} \ mathrm {d \ theta} & = \ int_0 ^ 1 \ left [\ dfrac {256i ^ 6 \ cdot503 ^ 4i ^ 2e ^ {503 ^ 2i \ theta}} {e ^ {503 ^ 2i \ theta}} \ right] ^ {\ frac 14} \ mathrm {d \ theta} \\ & = \ int_0 ^ 1 (4 ^ 4 \ cdot503 ^ 4) ^ {\ frac 14} \ mathrm {d \ theta } \\ & = \ int_0 ^ 1 2012 \ mathrm {d \ theta} \\ & = \ boxed {2012} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

Answer 6

El producto de exponenciales es la suma de los exponentes. Son sumas finitas, puede escribir el denominador como exp (a * i * theta) y el numerador como c * (d / dtheta) ^ 2 exp (b * i * theta), donde puede escribir abajo de lo que son a, byc.

Probablemente puedas tomarlo desde allí.