¿Por qué algunas ecuaciones diferenciales tienen términos constantes?

Si lo piensa de manera más intuitiva, verá que esos términos constantes solo representan algunas condiciones iniciales en el sistema.

tomemos un ejemplo de un Inductor, digamos que estuvo energizado por algún tiempo (supongamos que [matemática] t = 0 ^ {-} [/ matemática]) y luego se desconectó del suministro, pero incluso después de desconectarse, se almacenará cierta cantidad de corriente para [matemática] t = 0 ^ {+} [/ matemática], y como la corriente en un inductor no puede cambiar instantáneamente, tendrá [matemática] I (t = 0 ^ {+}) = I (t = 0 ^ {-}) [/ math], esto se llama corriente inicial en un inductor, también ocurre en un condensador para voltaje.

Ahora, cuando vuelva a usar ese inductor en algún circuito, entrará en juego la corriente inicial y lo mismo ocurre con un condensador.

Ahora mira esto …

La fuente actual en la imagen con el valor [math] \ dfrac {I_ {0}} {s} [/ math] es la corriente inicial (transformada por Laplace) y el inductor se representa como [math] Ls [/ math] en laplace El siguiente circuito no es nada especial, la fuente de corriente se transforma en una fuente de voltaje. Ahora, si usa KVL, entonces …

[matemática] V (s) = L.sI (s) – \ boxed {LI_ {0}} [/ math] (en el dominio de laplace)

[matemáticas] V (t) = L \ dfrac {di (t)} {dt} – \ boxed {L.I_ {0}. \ delta (t)} [/ math] (en el dominio del tiempo)

entonces, tanto en la ecuación diferencial, la condición inicial viene como una constante ponderada, para el condensador si escribe KVL y forma una ecuación diferencial, verá allí un término constante como este: [matemática] C.V_ {0} [/ matemática] vendrá, y nuevamente esto es solo el voltaje inicial del condensador.

Corrección.

Las ecuaciones diferenciales tienen constantes fijas . No tienen constantes arbitrarias

Las constantes fijas son números reales conocidos. No varían

Las constantes arbitrarias son aquellas que son desconocidas y necesitan un conjunto adicional de condiciones para que se conozca su valor.

En cuanto a cómo aparecen en las ecuaciones diferenciales, depende de la ecuación para la que se encuentre la ecuación diferencial.

Por ejemplo, si la ecuación es

y = x, la ecuación diferencial es dy / dx = 1. Aquí, 1 es una constante fija, que puede aparecer en una ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales se utilizan para representar cómo una variable responde al cambio en la otra en su forma más simple de dos variables, en este punto de vista, los términos constantes ocurren en los casos en que las variables son directamente proporcionales entre sí.

en el caso de términos múltiples, uno de los cuales es constante, significa que una variable está compuesta de más variables componentes, una de las cuales es directamente proporcional a la variable base, mientras que otra es proporcional al cuadrado de la variable base, etc.