Cómo encontrar la solución particular de la ecuación diferencial dydx + ycos (x) = 2cos (x) que satisface la condición inicial y (0) = 4

Answer 1

Creo que esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Me referiré a dy / dx como y ‘, la derivada de y. Una ecuación diferencial lineal de primer orden sigue la forma:

y ‘+ p (x) y = Q (x).

Para resolver esto, multiplicamos ambos lados por e ^ (integral de p (x)). Explicaré por qué esto funciona al final de mi respuesta. En este caso, p (x) = cosx, entonces multiplicamos ambos lados por e ^ sinx.

(y ‘) * (e ^ sinx) + [(cosx) * (e ^ sinx)] * y = 2 (cosx) * (e ^ sinx). Observe ahora que el lado izquierdo de la ecuación sigue la forma de una derivada de la regla del producto, con una función y y otra función e ^ sinx.

d / dx [ye ^ sinx] = 2 (cosx) (e ^ sinx). Ahora encontramos la antiderivada de ambos lados con respecto a x. El lado izquierdo es fácil. La antiderivada de la derivada de algo es ese algo -> y * (e ^ sinx). Para el lado derecho, use u = sinx y du = cosxdx.

y * (e ^ sinx) = 2e ^ sinx + C. Divide ambos lados entre (e ^ sinx) y obtenemos y = 2 + Ce ^ (- sinx) . Esa es la solución general.

Para encontrar la solución particular, sustituya 0 por x y 4 por y.

4 = 2 + Ce ^ (- sin (0)). Esto se simplifica a 4 = 2 + C, entonces C = 2.

La solución particular es y = 2 + 2 e ^ (- sinx) .

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*** Explicación de cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden ***

y ‘+ p (x) y = Q (x). Esto casi parece una especie de producto-ruley. Tal vez podamos hacer que se vea más obviamente como un derivado de la regla del producto. Elija una función para multiplicar por la ecuación completa. Tal vez entonces se verá como un problema de la regla del producto.

Bueno, y ‘es la derivada de y. Entonces p (x) veces la función que elegimos debería ser la derivada de la función que elegimos. Eso suena como otra ecuación diferencial. Llamaremos a esta nueva función F (x).

p (x) * F (x) = dF / dx. Esta es una ecuación diferencial con variables separables.

p (x) dx = dx / F (x). Ahora encuentra la antiderivada. Me referiré a la antiderivada de p (x) como P (x).

P (x) = ln (F (x))

F (x) = e ^ P (x), o e ^ (integral de p (x)). Ahora puede ver esta prueba con la lógica utilizada en el problema de ejemplo anterior.

Answer 2

Separación de las partes [math] x [/ math] y [math] y [/ math].

Comience con: [matemáticas] \ frac {dy} {dx} + y cos (x) = 2 cos (x) [/ matemáticas]

Factoriza la parte [math] cos (x) [/ math] para convertirla en:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = cos (x) (2-y) [/ matemáticas]

Ahora divida entre [math] (2-y) [/ math] y multiplique por [math] dx [/ math] para obtener:

[matemáticas] \ frac {1} {2-y} dy = cos (x) dx [/ matemáticas]

y ahora tienes dos integrales que se pueden resolver:

[matemáticas] \ int \ frac {1} {2-y} dy = \ int cos (x) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] -ln (y-2) + c_1 = sin (x) + c_2 [/ matemáticas]

[matemática] c_1 [/ matemática] y [matemática] c_2 [/ matemática] son ​​constantes arbitrarias de integración, así que combínelas en una sola constante [matemática] C [/ matemática]. También cambie los signos negativos porque es más fácil trabajar con valores de registro positivos:

[matemáticas] ln (y-2) = -sin (x) + C [/ matemáticas]

luego resuelve tomando cada lado como poderes de [math] e [/ math]:

[matemáticas] e ^ {ln (y-2)} = e ^ {- sin (x) + C} [/ matemáticas]

[matemáticas] y-2 = e ^ {- sin (x)} e ^ C [/ matemáticas]

Ahora [math] e ^ C [/ math] sigue siendo solo una constante arbitraria, por lo que escribir es como [math] C [/ math] sin pérdida de generalidad.

Entonces la solución es:

[matemáticas] y = Ce ^ {- sin (x)} + 2 [/ matemáticas]

Ahora tiene la condición [matemáticas] y (0) = 4 [/ matemáticas]

Así que pruébalo:

[matemáticas] y (0) = Ce ^ {- sin (0)} + 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] Ce ^ {0} + 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] C + 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] C = 2 [/ matemáticas]

Esto se puede volver a poner en la solución, para dar una respuesta final de

[matemáticas] y = 2e ^ {- sin (x)} + 2 [/ matemáticas]

Answer 3

[math] \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + y \ cos x = 2 \ cos x \\ \ implica \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d } x} = (2-y) \ cos x \\ \ implica \ dfrac {\ mathrm {d} y} {2-y} = \ cos x \, \ mathrm {d} x \\ \ text {Integrando ambos lados.} \\ \ displaystyle \ int \ dfrac {\ mathrm {d} y} {2-y} = \ int \ cos x \, \ mathrm {d} x \\ \ implica – \ ln (y-2) = \ sin x + C \\ \ text {Usando exponenciación:} \\ y-2 = e ^ {- \ sin x + C} \\ \ implica \ boxed {y = 2 + ke ^ {- \ sin x} } \, \ text {donde $ k = e ^ {C} $} \ tag * {} \\ \ text {Ya que sabemos} \\ y (0) = 2 + ke ^ {- \ sin0} = 2 + k = 4 \\ \ implica k = 2 \\ \ text {Por lo tanto,} \\ \ boxed {y = 2 (1 + e ^ {- \ sin x})} [/ math]