Cómo integrar una ecuación diferencial de la forma [matemática] \ frac {dx} {dt} = 1.4t – 0.5x [/ matemática]

Answer 1

La ecuación diferencial dada se puede escribir de la siguiente manera:

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} + 0.5x = 1.4t. [/ matemáticas]

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} + P (t) .x = Q (t) [/ matemáticas]

donde [matemáticas] P (t) = 0.5, Q (t) = 1.4t. [/ matemáticas]

Un factor integrador para esta ecuación diferencial es igual a

[matemáticas] e ^ {\ int {P (t) dt}} = e ^ {\ int {0.5dt}} = e ^ {0.5t} [/ matemáticas].

Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial anterior por este factor integrador, obtenemos

[matemáticas] e ^ {0.5t} \ frac {dx} {dt} + 0.5xe ^ {0.5t} = 1.4te ^ {0.5t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dt} [xe ^ {0.5t}] = 1.4te ^ {0.5t} [/ matemáticas]

Integrando ambos lados wrtt, obtenemos

[matemáticas] xe ^ {0.5t} = 1.4 \ int {te ^ {0.5t}} dt + c [/ matemáticas]

(integrar por partes)

[matemáticas] xe ^ {0.5t} = 1.4 [2te ^ {0.5t} – \ int {2e ^ {0.5t}}] + c [/ matemáticas]

es decir, [matemáticas] xe ^ {0.5t} = 2.8te ^ {0.5t} -5.6e ^ {0.5t} + c [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] x = 2.8t – 5.6 + ce ^ {- 0.5t} [/ matemáticas]

Answer 2

Verifique la respuesta de Venkatesh Ramamoorthy si desea hacerlo a mano.

Te daré la forma asistida por computadora para hacerlo.

Para eso, usaré Sympy [1] (un paquete de cálculo simbólico de Python).

de la función de importación sympy, dsolve, Derivado
de sympy.abc import t
# Declara la función
x = Función (‘x’)
# Escriba la ecuación ODE para resolver en el formulario eq = 0
eq = Derivado (x (t), t) – 1.4 * t + 0.5 x (t)
# Resolver
solución = dsolve (eq, x (t))
imprimir (solución)
# Eq (x (t), (C1 + (2.8 * t – 5.6) * exp (0.5 * t)) * exp (-0.5 * t))

Observe que la ecuación que necesita resolver es de primer orden (solo primeras derivadas), lineal (la ecuación se puede escribir [matemáticas] F (x (t)) = x ‘(t) [/ matemáticas] donde [matemáticas] F [/ math] es una función lineal), no homogénea (hay un término que solo depende de [math] t [/ math] en [math] F [/ math]) con coeficientes de función ([math] F (x (t )) = ax (t) + b (t) [/ math] donde [math] b (t) = 1.4t [/ math]) ecuación.

Para obtener más información, recomiendo leer la página de Wikipedia Ecuación diferencial ordinaria: Wikipedia.

Déjeme saber si usted necesita más detalles.

Notas al pie

[1] SymPy

Answer 3

Ya se han agregado muchas buenas respuestas, así que intentaré algo diferente, es decir, Laplace Transform ( que en realidad no es algo muy diferente 😛)

[matemáticas] \ dfrac {dx (t)} {dt} + 0.5x (t) = 1.4t [/ matemáticas]

tomando la transformada de Laplace en ambos lados

[matemática] \ implica sX (s) + 0.5X (s) = 1.4. \ dfrac {1} {s ^ {2}} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica X (s) = \ dfrac {1.4} {s ^ {2}. (s + 0.5)} [/ matemáticas]

Lo siguiente que debe hacer es -la inversa laplace, algunos laplace inversa básica que voy a aplicar aquí es

(1) [math] \ boxed {\ mathcal {L} ^ {- 1} \ left [\ dfrac {1} {s + a} \ right] = e ^ {- at}} [/ math] y

(2) [matemática] \ en caja {\ matemática {L} ^ {- 1} \ izquierda [\ dfrac {1} {s ^ {2}} F (s) \ derecha] = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {t}. \ left (\ displaystyle \ int_ {0} ^ {t} f (t) dt \ right) dt} [/ math]

entonces tendremos

[matemáticas] x (t) = 1.4. \ left [\ displaystyle \ int_ {0} ^ {t}. \ left (\ displaystyle \ int_ {0} ^ {t} e ^ {- 0.5t} dt \ right) dt \ right] [/ math]

[matemáticas] \ boxed {\ implica x (t) = 2.8t + 5.6 \ left (e ^ {- 0.5t} -1 \ right)} [/ math]

Answer 4

Todo lo que necesita saber es diferenciar utilizando el método del factor integrador.

Reorganizando obtienes:

[matemática] \ frac {dx} {dt} + 0.5x = 1.4t [/ matemática]

dónde,

[matemáticas] P (t) = 0.5 [/ matemáticas]

[matemáticas] Q (t) = 1.4t [/ matemáticas]

Ahora tenemos que definir cuál es el factor integrador, V (t):

[matemáticas] V (t) = e ^ {\ int \, P (t) \, dt} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {\ int \, 0.5 \, dt} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {0.5t} [/ matemáticas]

Ahora que sabemos qué es V (t), podemos conectarlo a la ecuación:

[matemáticas] x = (1 / V (t)) * (\ int \, V (t) Q (t) \, dt) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = (1 / e ^ {0.5t}) * (\ int \, (e ^ {0.5t}) * 1.4t \, dt) [/ matemáticas]

Usando la integración por partes:

[matemáticas] x = (1 / e ^ {0.5t}) * (\ dfrac {14 \ left (x-2 \ right) \ mathrm {e} ^ \ frac {x} {2}} {5}) [ /matemáticas]

Answer 5

Esta ecuación es una ecuación de primer orden y se puede resolver de la siguiente manera:

reorganizar la ecuación de la siguiente manera.

[matemática] \ frac {dx} {dt} + 0.5x = 1.4t; [/ matemática]

Resuelva la ecuación homogénea primero:

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} + 0.5x = 0 [/ matemáticas]

Ecuación característica

y + 0.5 = 0 => y = -0.5

entonces una solución de la ecuación homogénea es

[matemáticas] x = ce ^ {- 0.5t} [/ matemáticas]

Ahora encuentre cualquier solución particular de la ecuación diferencial original y agréguela a la solución homogénea:

Suponga la solución de la forma x = At ​​+ B y sustitúyala en la ecuación original:

[matemáticas] A = 1.4t -0.5 (En + B) [/ matemáticas]

que produce dos ecuaciones

[matemáticas] 0 = 1.4t -0.5At [/ matemáticas]

lo que implica A = 2.8

[matemáticas] A = -0.5B [/ matemáticas]

[matemáticas] -2A = B = -5.6 [/ matemáticas]

Entonces la solución final es

[matemáticas] ce ^ {- 0.5t} + 2.8t -5.6 [/ matemáticas]

La constante c debe determinarse a partir de las condiciones iniciales.